Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Электротехника -> Немцов М.В. -> "Электротехника и электроника." -> 24

Электротехника и электроника. - Немцов М.В.

Немцов М.В., Немцова М.Л. Электротехника и электроника. — М.: Академия, 2007. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): elektroteh2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 130 >> Следующая

Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:
A = AJJl = Ar*' = AZy а. (4.8)
Так же обозначается и сам вектор на комплексной плоскости (см. рис. 4.6).
80
Применяются три формы записи комплексного действующего значения синусоидальной величины:
• показательная форма
A = Ае™° = AZMf0; (4.9)
• тригонометрическая форма
А = /1 cos\j/fl + jAsmya; (4.10)
• алгебраическая форма
A = ReA + JImA, (4.11)
где Re А = /1 cos \j/fl и Im А = A sin \i0 — действительная и мнимая составляющие комплексного действующего значении синусоидальной величины; А = J(ReA)2 + (Im Л)2; \jza = arctg *Ш ^.
ReA
Переход от показательной формы к тригонометрической выполнен с помощью формулы Эйлера:
е = cos\j/fl +j sin \\i0. (4.12)
При значениях угла уа = я/2 и \jzfl = -n/2 из (4.12) следует:
еш =jiie -т = _у = i/Jt (4. і з)
где j = V-T — мнимая единица.
При анализе цепей синусоидального тока применяют комплексные действующие значения синусоидальных величин. Сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости — векторами комплексных значений.
Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными.
Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы \jzfl всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исходным вектором. Его начальная фаза \jza = 0.
81
Направления синусоидальных величин (тока, напряжения и др.) в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений принимается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответ-
ствующего участка цепи. При выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением а = Amsin((ut + \\ia) и соответствующим комплексным значением А = AZy0 (4.8). Следовательно, взаимно-однозначному представлению синусоидальных величин (токов, напряжений и др.) в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис. 4.7).
Заметим, что в отличие от мгновенных значений синусоидальных величин соответствующие им комплексные значения не имеют размерностей.
Пример 4.1. Для синусоидальных тока /= /msin(ш/+\j/,) = 10 sin (w/+ + л/4) А и напряжения и = ?/msin(co/ + \уи) = 50 sin (ш/- л/6)В (рис. 4.8, а) записать соответствующие им комплексные значения тока / и напряжения U и построить их векторы на комплексной плоскости.
Решение. Синусоидальному току *'= /,„ sin (to/ + = 10sin((o/ + + л/4) А соответствует комплексное значение тока / = =
10 inM 10 , ... . ,
= -—=ejnJ4 = —j=Zk/A и вектор на комплексной плоскости (рис.
Синусоидальному напряжению и = ?/msin((o/ + \j/u) = 50 sin (ш/-- л/6)В соответствует комплексное значение напряжения U =
4.8, б).
УІ2
і, А
и, В
J
I
I
I
at
0
4
к
6
U
а
б
Рис. 4.8
82
= —^еУЧ/« = —j=e j7tl6 = —j=Z(-n/6) и вектор на комплексной плос-\2 V2 v2
кости (см. рис. 4.8, б).
4.6. Закон Ома в комплексной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов
Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индуктивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических процессов в каждом из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин.
Резистивный элемент. Если ток в резистивном элементе синусоидальный:
то по закону Ома (2.1) напряжение на резистивном элементе
uR = RiR = /v7Rmsin(tor + \j/,)= URmsm((at + \\iu),
где амплитуды тока и напряжения и их начальные фазы связаны соотношениями
Разделив правую и левую части первого соотношения в (4.14)
на V2, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока резистивного элемента:
На рис. 4.9 показан график мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения резистивного элемента (построен . .
іR = /»«sin (со/ +у,),
(4.14)
Ur = RIr-
(4.15)
при \iiu = щ > 0), из которого видно, что синусоидальный ток iR и напряжение uR совпадают по фазе.
Ir, Ur
Представим синусоидальные ток /д и напряжение uR резистивного элемента соответствующими комплексными значениями
JL
COf
(4.9):
/ = /яеЛ" и UR=URe™«.
Рис. 4.9
83
Учитывая (4.15), получим закон Ома в комплексной форме для резистивного элемента:
UR = RIRe™« = RIReJv<, (4.16)
или
Рис. 4.10
UR=RIR.
На рис. 4.10 приведена векторная диаграмма резистивного элемента и показано, что векторы комплексных значений тока iR и напряжения UR совпадают по фазе. Индуктивный элемент. Если ток в индуктивном элементе синусоидальный:
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed