Электротехника и электроника. - Немцов М.В.
Скачать (прямая ссылка):
раметрами резистивного и индуктивного
элементов в схеме замещения генератора можно пренебречь, то его схемой замещения будет идеальный источник синусоидальной ЭДС е или источник синусоидального напряжения (рис. 4.3, а). Если ток в цепи генератора не зависит от параметров внешней цепи, то схемой замещения генератора будет идеальный источник синусоидального тока J(t) (рис. 4.3, б), где /(/) = /к — ток генератора при коротком замыкании его выводов а и Ь.
Источники ЭДС и тока называются активными элементами, а резистивные, индуктивные и емкостные элементы — пассивными элементами схем замещения.
4.4. Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных величин
В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи также синусоидальны:
/=/rasin (Ш+уі),
где ш — угловая частота; у,- — начальная фаза тока; I1n — максимальное значение (амплитуда) тока.
Средним значением синусоидального тока считают его среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю:
2 7,2 2 Т/2 21
I^ = - J Й/ = - J In sinto/df = SL. (4.3)
Если в резистивном элементе сопротивлением R при постоянном и синусоидальном токах за одинаковый интервал времени выделяется одинаковая энергия, то такое значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока.
За интервал времени один период T в резистивном элементе сопротивлением R выделяется энергия при синусоидальном токе
T
W„ = JRi2dt,
о
77
/
при постоянном токе
Рис. 4.4 W= = RI2T.
T
Равенство энергий RI2T = J Ri2At определяет действующее зна-
0
чение синусоидального тока
/ =
(4.4)
как среднее квадратичное за период. На рис. 4.4 показаны зависимости от времени синусоидального тока /, квадрата тока і2 и графическое определение значения Iі (из равенства площадей I2T =
T
= JRi2dt), а тем самым и действующего значения тока I.
о
Для синусоидального тока нетрудно определить действующее значение через амплитудное:
/
-ff
I sin2 totdt =
Irl- cos 2ш/
dt
так как Jd/ = Т, a Jcos2(o/d/ = 0, то
о о
(4.5)
Аналогично для любой другой синусоидальной величины а = = А,„&іп(Ш + \|/0) (ЭДС, напряжения, магнитного потока и т.д.) среднее и действующее значения равны
Аср =2Лт/л = 0,637Л„,;"| A = AnIJl = WVlA1,. J
(4.6)
78
4.5. Способы представления синусоидальных
величин
Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций (4.2), графиков (см. рис. 4.2), вращающихся векторов и комплексных чисел.
Рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин вращающимися векторами и комплексными числами.
Представление синусоидальных величин вращающимися векторами. Для представления синусоидально изменяющейся величины
с начальной фазой \\ia вращающимся вектором построим (рис. 4.5, а) радиус-вектор Ат этой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде Ат, и под углом \іа к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времени /= 0.
Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью Q, численно равной угловой частоте со синусоидальной величины а, против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равна Ansin (cor+ уа). По значениям этих величин можно построить график зависимости синусоидальной величины от фазы со/ или от времени /. Такое построение приведено для некоторых значений t на рис. 4.5, б.
Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.
Представление синусоидальных величин комплексными числами. От представления синусоидальных величин вращающимися ради-
а = Amsin (co/ + \|/fl)
а
Amsm((ut2 + \iia) = A,
А,
а
б
Рис. 4.5
79
усами-векторами нетрудно перейти к представлению синусоидальных величин комплексными числами.
Для того чтобы представить синусоидальную величину
a = Amsm((t>t + \\ia) (4.7)
Рис. 4.6 с начальной фазой \j/? комплексным чис-
лом, проведем на комплексной плоскости (рис. 4.6) из начала координат под углом \\ia к оси действительных величин против часовой (по часовой) стрелки, если значение угла \j/a> 0 (\|/0 < 0) вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде An синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует комплексное число — комплексная амплитуда синусоидальной величины:
Так же обозначается и соответствующий комплексной амплитуде вектор на комплексной плоскости.
При увеличении во времени фазы синусоидальной величины Mt + \|/fl угол между осью и вектором растет, а сам вектор будет представлять собой вращающийся вектор
Апеяш+^ = AnCOs (Ш+ \|/0) + jAnsin (ш/ + \|/с).
Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине (4.7).
Представление синусоидальной величины комплексной амплитудой An и соответствующим ей вектором на комплексной плоскости геометрически подобно представлению той же синусоидальной величины вращающимся радиусом-вектором А„ в момент времени t=0 (см. рис. 4.5, о). Поэтому может создаться впечатление, что оба представления синусоидальных величин практически совпадают. В действительности это не так. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить эффективный комплексный метод анализа электрических цепей синусоидального тока, который в настоящее время завоевал всеобщее признание.
