Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
1,072
0,2806
1,103
0,3797
1,122
0,4755
1,129
0,5696
1,125
0,6633
1,111
0,7575
1,088
0,8533
1,058
0,9507
1,020
0,0739
1,032
0,1866
1,076
0,2907
1,106
0,3894
1,123
0,4850
1,129
0,5790
1,124
0,6727
1,109
0,7670
1,085
0,8629
1,054
0,9605
1,016
0,0857
1,037
0,1973
1,079
0,3008
1,108
0,3990
1,124
0,4944
1,129
0,5884
1,123
0,6821
1,107
0,7765
1,083
0,8726
1,051
0,9703
1,012
0,0974
1,042
0,2080
1,083
0,3108
1,110
0,4087
1,125
0,5039
1,129
0,5977
1,122
0,6914
1,105
0,7860
1,080
0,8823
1,047
0,9802
1,008
0,1089
1,047
0,2185
1,086
0,3208
1,112
0,4183
1,126
0,5133
1,129
0,6071
1,121
0,7008
1,103
0,7956
1,077
0,8920
1,044
0,9901
1,004
При а = 0
К(2а)1 —(а!)3 а!
s; Ь =
Значения |/(2а)! — (а!)2/а! и 1/а! при а = 0-4-0,99. с интервалом в 0,01 даны в табл. 6.7.
Если параметр а неизвестен, то специальными методами все же можно оценить все три параметра.
Метод максимального правоподобия'. Пусть
X = (X1, X2.....Xn) — повторная выборка (выборка называется
повторной, если все компоненты вектора X независимы и одинаково распределены). Составим так называемую функцию правоподобия
1=1
(6.135)
где O1, а2, . . ., as — неизвестные параметры распределения случайной величины X; f — плотность" вероятности. Иногда под функ-
п
цией правоподобия понимают функцию L* = П f (xt\ alt а2, . . .,as),
1=1
так что L = In L*.
Оценки параметров а,-, получаемые по методу максимального
правоподобия (их обозначают обычно A11 а2.....а5), удовлетворяют
s уравнениям вида
256
В случае вейбулловского распределения функция максимального правоподобия имеет вид
L= (4)" П
1=1
_(ij-a\k
где п — объем выборки. Далее имеем
п п
lnL = nln ? + ?-1)^(/, —а)-± ?(*, — d)*. (6.136)
i=I i=i
Для нахождения максимума функции (6.136) возьмем частные производные по каждому из параметров и приравняем их нулю.
^InL=-(ft-_I) 2-^ + 42 ^-в)*-,==0:
i=I 1=1
^lnL=_^+_L|(^_a)^0;
п п
In L = \ + ? In (*, - а) - I J] (U- af In(Z, - а) = 0.
і=! 1=1
Из данных равенств определяют параметры распределения а, Ъ и ft. Эти равенства используются главным образом при расчете подшипников общего применения, у которых параметр сдвига а невелик.
Для высокоточных шарикоподшипников параметр ft близок к единице, а параметр сдвига а значителен и достигает сотен и даже тысяч часов, поэтому для последних имеет место двухпараметрическое
распределение Вейбулла. Наиболее простые оценки а и Ь этого распределения были получены в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР. Эти оценки имеют вид
U = ^1(Ht1-T); *==-JL1-(F-Z1), где T — средняя наработка на отказ:
п 1=1 '
здесь п — число испытанных подшипников; I1 — время безотказной работы t'-ro подшипника; при этом Z1 — наименьшее время, a Zn — наибольшее.
Параметры а и Ь как функции случайныхвеличин сами являются случайными величинами, поэтому желательно дать их вероятностные характеристики. В первую очередь нужно уметь построить довери-
17 М. П- Ковалев 257
тельные интервалы параметров а и Ь. Интервал [ох, а2] называется доверительным для неизвестного параметра а, если с некоторой наперед заданной вероятностью S (как правило, близкой к единице)
выполняется неравенство o1 < а < а2. С вероятностью 1 — ~
можно гарантировать, что истинное значение параметра сдвига а не выйдет из пределов
Г __1_
q \ п-1 W
а — b
('-т)(-
1
< а< а +
+ Ъ
С вероятностью 1 — заключено в пределах
100
"п-1
("-4-)(«
¦щ истинное значение параметра b масштаба
2(п— \)Ь
¦2)
Х,(2а-2) S0^xJ00_^(2я.
где х2, (2м — 2) или Xp (/") — так называемая р — процентная точка «хи-квадрат», т. е. такое значение аргумента, больше которого %2 — распределенная случайная величина может быть лишь с вероят* ностью 5, которую находят по специальным таблицам [25].
Статистическая функция распределения аппроксимируется функцией вида
F(t)=l
(6.137)
При совпадении функций (6.129) и (6.137) нижние доверительные границы определяют по следующим формулам:
O1 = a — kxb; O1=Jb(i-a2).
Значения коэффициентов Zs1 и k2
Таблица 6.8
Число
It1Zk1 прн нижних доверительных границах, %
подшипников п 90 95 99 , 99,9
10 0,1630/0,367 0,2550/0,3777 0,503/0,483 . 0,935/0,575
15 0,1000/0,262 0,1560/0,323 0,296/0,420 0,581/0,508
20 0,0726/0,233 0,1500/0,288 0,211/0,379 0,368/0,463
25 . 0,0560/0,212 0,0867/0,264 0,163/0,349 0,280/0,429
30 0,0469/0,196 0,0720/0,245 0,131/0,325 0,228/0,402
35 0,0394/0,184 0,0606/0,230 0,112/0,306 0,191/0,381
40 0,0335/0,174 0,0530/0,217 0,094/0,291 0,160/0,363
45 0,0296/0,165 0,0463/0,207 0,085/0,277 0,144/0,347
50 0,0270/0,158 0,0417/0,197 0,078/0,266 0,127/0,333
258
Коэффициенты U1 и k-, зависящие от числа испытуемых подшипников и нижних доверительных границ, даны в табл. 6.8"
Нижнюю доверительную границу функции распределения F1 (т) и соответствующую функцию надежности S1 (т) строят по следующим формулам:
f(t),S(t) 1,0
F1(O=I-е
t-a,
S1(O=C
t—а, Ь,
(6,138)
D SDO
Рис. 6.22. Статистическая Fn
и теоретическая
