B-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи - Архипкин В.Я.
ISBN 5-88405-038-0
Скачать (прямая ссылка):
3.3.1. Гауссова плотность вероятностей трафика
Сначала приведем (доказываемые интегрированием по частям) формулы начальных моментов гауссовой случайной величины N, причем после центрирования на N0 все моменты нечетного порядка равны нулю: ((N-N0)2n+l) = 0, п = 0,1,..., а для моментов четного порядков получаем:
2N° 1 ( (N-TJ\2\ Na 1 —
(АГ2)= J AT2^exp dN= J (N-N0)2-JL^e 2аІ dN = (N0/3)2,
' о %/2тга Iv 2а ) J 72тга
= 7 ^ 1 expf-^MU=) (AT-AT0)3 1 -^-^ = ?',(3.35) v ' о V27ta I4 2a J V27ta V27ta 3
/
2w° 1 г (n — am2 ^ 1 —
(at4)= f at4^=Uexp 7j a5V= f (at-at0у-L-e 2JdN =
V 1 0J At Я J J AJ
9
Поэтому с использованием (3.35) для среднего (3.1), дисперсии (3.3), АКФ (3.8) и ВКФ (3.9) последовательно получаем (после дополнительного усреднения по случайному N):
, ZN0
l^-(W)1-f4S1I""р
(W-Ar0)s^
2о
Б
1 2W° (
2 Л
2а2
KuJ
(3.36)
Я =
M
д
= 9,
(M)N=a(N2) = \,laN2, а = \-Б'2^\. V/iniriWI ri1CUI\rirl ПІ l ГУЛ IVIW wnwife.it! w WW»,,-, WW ................... .
2.Д2=(Д2)„-(Д>1=1.21ЛС
ЯІ
-W-!
д
02,
(AKO)jv = (-b) + N2b) = (a-b)N0 + ^N20 «Ar,, Ь = Б'2 «0.
3. Дз = ((АФК)2)„ -(АФК)2 = f + 2(a-b)f (АФК)2
/ л4
V* у
Af2
ft =-
Дз
= 9 = 9,,
(ВКФ)„Н
Af
98
4. Д, =((ВКФ)2)^ - (ВКФ)2
«4 =
(ВКФ), _ д4
= 1,02 = ^2.
(3.37)
(3.38)
(3.39)
Из формул (3.37) четко видно, что из-за сфазированного суммирования квадратов случайных величин наибольшие среднее значение и дисперсию имеет сумма чипов в пачке CDMA, причем примерно одинаковой величины, поэтому их отношение близко к единице: q2 «1. В остальных случаях и средние значения и особенно дисперсии значительно меньше, поэтому, например, qx = дъ = 9.
3.3.2. Равновероятное распределение вероятностей трафика
На рис. 3.2 (кривая 4) приведена равновероятностная плотность, после центрирования которой на N0 немедленно получаем нулевыми все моменты нечетного порядка; остальные характеристики в той же последовательности, что и в предыдущем разделе, равны:
>N\
2N„
о S2N,
2Nn
Чъ =
{Cl _ 1
Д5
(3.40)
(M)N=(aN) = aN0, Л = 1-?"2«1. I JIMDA з
^ = 3' (3.41)
Мб
(АФК)„ = ((в - - лг2г>) = (о - -у W02, Ь = Б~г «0.
3. Д7 = ((АФК)2)„ -(АФК)2„ ^{a-bfNl +f(a-b)N30 Л2^=^-, <АФК>*
64
N2
Д7
'9,
(3.42)
^2
4. Д8=((BKФ)2)„-<BKФ)2„=-% =1,25.
ivo
V
(3.43)
Как и в предыдущем параграфе, наибольшие средние и дисперсии будут для случая (3.41), но в соответствии с интуитивными ожиданиями равновероизация приводит к увеличению разброса параметров втрое, так как отношение q1 Iq5 = 27, тогда как qx Iq2 = 9 (см. формулы (3.36) и (3.37)). В целом видно, что случайность трафика приводит к замене случайных величин N их средними значениями N0 в полном соответствии с рекомендациями теории нелинейного математического программирования, базирующимися на неравенстве Иенсена: выпуклая функция / на выпуклом множестве X = (X15X2,..., хп) удовлетворяет неравенствам
/=1
/ Zv, ^jKfi*Д ^o, Jxi=U
/=1 у I=I
7
Ч /=1
(3.44)
(3.45)
где второе неравенство записано на основании линейности операции осреднения по случайным величинам Xi. В принципе можно было бы в гл. 2 воспользоваться (3.45) с целью упрощения процедуры компенсации мешающих сигналов CDMA. Однако нельзя забывать про дисперсию оценок, которая максимальна, особенно для гауссова случая (прямо пропорциональна квадрату осредненного среднего значения), как раз при оценке дисперсии и суммировании квадратов случайных величин, когда выпуклость налицо (правда, неравенство Иенсена в классической форме (3.44) в данном случае фактически не причем, хотя вероитизация задач, особенно их равновероитизация, рассматривается и предлагается в нелинейном программировании как один из способов овыпукления задач). Единственный надежный путь - решение проблемы в «лоб» с максимальной доказательностью каждого шага процедуры оценки.
3.4. Статистика пачки цифровых сигналов B-CDMA
Статистическая независимость чипов позволяет достичь требуемых результатов, хотя при этом возникают особенности типа «паразитного резонанса» при неявном совпадении чипов по номерам п в каждой из к позиций ПСП, за чем уследить при многократном суммировании не так-то просто, что и порождает не только «точечные» резонансы, но и целые их цепочки, могущие существенно повлиять на конечные результаты (в строгой теории [33-35] эти особенности отслеживаются автоматически, если вести наблюдение за комбинаторной различимостью массивов чипов в каждой к-й позиции методом расщепления единицы или обратного сведения к единице). Условимся (рис. 3.3), весовые множители СФ обозначать через ак, к = \,Б, а элементы пачки CDMA - через Ъпк = ЬПк, чем подчеркивается как исходная и различная природа происхождения ак и bnk, так и принадлежность чипов к разным позициям к в пачке (напомним еще раз - ведь численные значения чипов одинаковы и равны +1). Понятно, что многие ухищрения, использованные ранее, неявно применяются всюду ниже, однако подробно не комментируются.
