B-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи - Архипкин В.Я.
ISBN 5-88405-038-0
Скачать (прямая ссылка):
выбросы ВКФ, представляющие предмет изучения), индекс к есть номер опорного чипа.
Теперь, «переложив» на вероятности учет частот появления чисел ±3 и ±1, что делается автоматически произведением чисел сочетаний, перейдем от матрицы М\ к матрице Mi, характеризующей частоты появления произведения чисел (±3)(±3), (±3)(±1) и (±1)(±1). Для этого сначала найдем плотность Р(у) вероятности у = CiCj произведения сумм с якобианом Я = 11 / Ci |, который конечен как раз потому, что IC11 = 1 или 3, но не равен нулю. Итак, имеем:
Р(у) = P(^y = ClCj) = j [яДС, -3) + <725(С, -1) + $8(С,- +1) + ?48(С, +3)]х
ft8
Jk ІЗ
<h 111
ft
y_
Kb
qfi
+ ftSUj—l LftS
V^ у
+ ft8
Ci
qxb
^-3
--3
+ q2b
У-1
\
da
C1
+
+ T^[ftS(-7-3) + ft8(-7-l) + ft8(-7 + l) + ft8(-7 + 3)] +
ft
1-31
- ft [ftS[y - 9) + q2b(y - 3) + q?(y + 3) + q<b{y + 9)] + +ft [ft8(j;-3) + q2b{y -1) 4- q,b(y +1) + q?{y + 3)] + +ft[ft8(7 + 3) + ft8(7 + l) + ?38(7-l) + ft8(7-3)] + +ft [<7,5(7 + 9) + q28(y + 3) + q?(y - 3) + <748(7 - 9)];
(3.11)
ft = q2 = ClPi2P2, q, = C2P1 P2, q4 = C3iP2',
-±b
= 8
y±ab
=\а\Цу±аЬ), 8(-7)=8(7);
(3.12) ™ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ B-CDMA-3G ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0» IZd
Ш) l(ft) -l(ft) -3(^74)
(?1)3 9 (ft2) 3(ftft) -3 (ftft) -9(ft<?4)
(ft)] 3(?2 ft) l(ft2) -l(ftft) -3 (ftft)
Ы-1 -3(ftft) -Uftft) +!(ft2) +3(ftft)
Ы-з -9(ftft) -3 (ft?2) +3(ftft) +9(ft2) •
В формуле (3.11) многократно используется фильтрующее свойство дельта-функции, формула (3.12) с якобианом \а\ доказывается элементарно. Матрица M2 наглядно показывает структуру ВП, формирующего выбросы мгновенных значений ВКФ (вообще-то под ВКФ понимается всегда сумма всех элементов в (3.13) с вероятностными весами, но из формы представления M2 однозначно ясно, о чем идет речь). Из матрицы M2 элементарно следует справедливость метода «расщепления единицы», как и обратного способа - «сведения к единице», или «синтеза единицы», который встретился сейчас явно впервые (неявно этот способ использовался и раньше) и освобождает от необходимости проверки условия нормировки, в справедливости которого при N > 10 убедиться сложно из-за необходимости суммирования произведений разнообразных чисел сочетаний.
Таблица 3.4 получена из матрицы M2 очевидной перезаписью, причем в первой строке записаны величины выбросов, во второй - их частости (гораздо чаще используемое слово «частоты» слишком перегружено в разнообразных применениях и, строго говоря, неверно в конечно-мерных ВП и вообще в любых задачах с конечным числом исходов, поскольку появляющиеся в Фурье-преобразованиях частоты требуют, и это важно, бесконечной длительности сигнала на всей оси времени, точнее, подробного задания и доопределения сигнала, например одиночного импульса амплитуды А и длительности Т, у которого A=О при T€ (-оо <t< +оо)); в третьей строке таблицы представлены вероятности P(i) величин і, в четвертой -значения вероятностей Р(і) для частного случая P1 = P2 = 1/2.
Таблица 3.4. Частости и вероятности выбросов сигналов CDMA и расчет при P1 = P2 = 1/2
Выбросы ... (/) 9 3 1 -1 -3 -9
Частости C30C30+C33C33 = = I2+ I2 = 2 ¦fC^C^ "("С^С^ = =4-3=12 CJCJ CJ CJ — = 9+9 = 18 Cj С" J CJCJ = 9+9 = 18 С^+С^С? + =4-3=12 Cj Cj' "Ь CJ'CJ = I2 +12 = 2
Вероятности P(J) Vx = Vxt p^V2) PliVl3 + P23F23 3 Vi1Px2P2 + +3 V12V2P13 + +ЗУ3 P1P22 + +W1 V2P3 W2V1P2P2 + +W1 V2P1 P2 W1 V22P2P2 + +W12V2 P1 P2 W3P1 P2 + +W12V2P3 + +3 V12V2P3 + +W3P2P1 P3V3+ P13V3
Р(ї) при JV^P2 =V 2 2/64 12/64 18/64 18/64 12/64 2/64 ¦ IO
ГЛАВА З
Как и следовало ожидать, наибольшую вероятность, равную 18/64, имеют малые выбросы величиной ±1, но вероятность ±3 лишь в 18/12 = 1,5 раза меньше, а ведь три - это число N сигналов в пачке CDMA; при N = Б это обстоятельство при приеме может принести много неприятностей (см. гл. 2), преодолеть которые можно только путем компенсации мешающих сигналов, особенно для нивелирования крайних выбросов величиной N2. Суммирование всех величин в табл. 3.4 с их вероятностями приводит к точной ВКФ (которая при равновероятных чипах равна нулю):
ВКФ=9(P13V13 + РМ)+3OKpI2p2 + Щ%рі3 + 3KpI рг + 3VxV2Pl)+
+1(9 Vx2V2P2P2 +9VxVlPxPl)-l(9Vx V2 P2P2+9VxV2 PxPf)--3(3^?2 +W2V2Pl +3 V1V22Px3 + 3V23 Px2P2)-9(^3%3 + Vl Pl),
P1+P2=I, Vl + V2 = l; (3.14)
ВКФ(/? =P2 = 1/2) = 2^(18 + 36 + 18-18-36-18) = 0. (3.15)
В табл. 3.4 и в (3.14) были введены априорные вероятности для исходных чипов Vx и V2=X-Vx (полностью совпадающие с вероятностями Px=Vx и P2=V2) по следующим причинам. Если бы «сведение к единице» осуществлялось формально, то получили бы такой результат (четко демонстрирующий эффективность метода «расщепленная единица» [33]):
I6 =(РХ +Р2)3(РХ + P2)3 = (i> +P2)6 =X Cn6PtnPl =C06Px6+ t Cn6PtnPn2. (3-16)
л=0 л=1
Выделенный (для пояснения) первый член С\Px давал бы один выброс 9 = 3-3 с той же вероятностью Px , но только один, тогда как в табл. 3.4 их два. Утеря многих величин - тонкий эффект и объясняется тем, что при формализме (3.16) не сделано никаких различий между совершенно статистически однородными массивами
