Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
2/9. Тождество. Важным преобразованием, которое, впрочем, начинающий может не признать за преобразование, является тождественное преобразование; при этом преобразовании не происходит никаких изменений и каждый образ совпадает со своим операндом. Если все операнды различны, это преобразование необходимо является взаимно однозначным. Примером может служить преобразование / в упр. 2/6/2. В сокращенной записи п' = п.
Упр. 1. В некоторых автоматических кассовых аппаратах преобразование, которое при вскрытии их должно быть произведено с содержащимися в них деньгами, показывается особым сигналом. Какой сигнал показывает тождественное преобразование?
Упр. 2. В крикете перебежки, сделанные в течение одной партии, преобразуют число очков у команды из одного значения в другое. Каждое отдельное число перебежек определяет отдельное преобразование. Так, если в партии засчитано восемь перебежек, преобразование определяется формулой л' = л + 8. Как назовет крикетист тождественное преобразование?
2/10. Матричное представление. Все эти преобразования могут быть представлены в единой схеме, ясно показывающей их взаимоотношения (этот метод будет особенно полезен в гл. 9 и дальше).
Выпишем операнды в горизонтальную строку, а возможные образы — в столбец слева вниз, так, чтобы образовать две стороны прямого угла. Пусть нам дано некоторое преобразование. Поставим «-)-» на пересечении строки и столбца, если операнд, стоящий вверху столбца, преобразуется в элемент, стоящий слева в строке,; в противном случае поставим нуль. Например, преобразование
| А В С * А С С
32
ГЛАВА 2. ИЗМЕНЕНИЯ
2/10
будет иметь вид
1 А В с
А + 0 0
В 0 0 0
С 0 + +
Стрелка в левом верхнем углу указывает направление переходов. Таким образом, каждое преобразование может быть представлено в виде матрицы.
Если преобразование велико, в матрице можно использовать точки; надо только, чтобы их значение не было двусмысленным. Так, возьмем преобразование, при котором п' = /г-|- 2, а операнды суть целые положительные числа начиная с 1. Его матрица может быть представлена в следующем виде:
1 1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0
3 + 0 0 0 0
4 0 + 0 0 0
5 0 0 + 0 0
(Символы на главной диагонали, идущей от левого верхнего угла, напечатаны полужирным шрифтом для большей ясности позиционных отношений.)
Упр. 1. Как распределены плюсы в матрице тождественного преобразования?
Упр. 2. Какое из трех указанных преобразований: а) взаимно одно-« значно; Ь) однозначно, но не взаимно однозначно; с) т-"1* однозначно?
1 А (I) в с ] (И)
в с 1 А (III)
в с
А + 0 0 + л 0 + 0 0 А 0 0 0
В 0 0 + 0 в 0 0 0 + в + 0 0
С + 0 0 0 с + 0 0 0 с 0 + 0
О 0 + 0 + п 0 0 + 0 0 0 +
2/П
ПОВТОРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
33
Упр. 3. Может ли замкнутое преобразование иметь матрицу, содержащую: а) строку из одних нулей; Ь) столбец из нулей?
Упр. 4. Постройте матрицу преобразования п' = 2п с целыми числами в качестве операндов, делая ясным распределение плюсов. Лежат ли они на прямой линии? Начертите график у — 2х; имеют ли эти линии какое-либо сходство?
Упр. 5. Возьмите колоду карт, перетасуйте ее и разложите 16 карт лицевой стороной кверху в квадрат четыре на четыре. В матрицу четыре на четыре ставьте знак +, если на соответствующем месте лежит карта черной масти, и ставьте знак 0, если на соответствующем месте лежит карта красной масти. Проделайте это несколько раз, определяя тип каждого преобразования, как в упр. 2.
Упр. 6. Если имеется два операнда и преобразование замкнуто, то сколько существует различных матриц?
Упр. 7. (Продолжение.) Сколько из них однозначны?
2/11. Степень. Итак, мы исследовали основные свойства замкнутого однозначного преобразования, поскольку речь идет о его однократном действии. Однако такое преобразование может применяться не один раз, а многократно, порождая серию изменений. Эта серия аналогична серии изменений, через которую проходит действующая динамическая система. Теперь мы рассмотрим генезис и свойства такой серии.
Предположим, что второе преобразование из § 2/3 (назовем его преобразованием «альфа») было использовано для кодирования английского сообщения. Предположим, что закодированное сообщение снова кодируется с помощью преобразования «альфа». Каков будет результат? Результат может быть прослежен буква за буквой. Так, при первом кодировании А превратилась в В, которое при втором кодировании превращается в С; следовательно, после двойной процедуры А превратится в С, или в обычной записи: А—>С. Аналогично В—>й и так далее вплоть до У—>А и 7.—>В. Таким образом, двукратное применение преобразования «альфа» вызывает в точности те же изменения, что и однократное применение преобразования
ПОВТОРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
А в ... у г
С О ... А В'
3 Зак. 3346. У. Росс Эшби
34
ГЛАВА 2. ИЗМЕНЕНИЯ
2/12
Таким образом, из каждого замкнутого преобразования мы можем получить другое замкнутое преобразование, результат которого при однократном применении тождествен результату первого преобразования, примененного дважды. Второе преобразование называется «квадратом» первого и одной из его «степеней» (§ 2/14). Если первое преобразование обозначено через Г, то второе будет обозначаться через Г2. Это обозначение пока следует рассматривать просто как ясный и удобный символ нового преобразования.
