Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(ср. с и в § 4/9). Применив Р ко всему описанию 5, получим
у' = —у+х^
— х' = — у — X
что алгебраически тождественно с Следовательно, Я и 5 изоморфны.
Упр. 1. Какое взаимно однозначное преобразование покажет изоморфизм следующих абсолютных систем:
' \ с с й (I Ь* ' У г ч ч р г'
(Указание: попытайтесь установить некоторые характерные особенности, такие как состояния равновесия.) Упр. 2. Сколько существует взаимно однозначных преобразований, которые покажут изоморфизм следующих абсолютных систем:
аЛ"Ьс, В:.\рчг* + Ь с а' У г р д
*Упр. 3. Напишите канонические уравнения двух систем, изображенных на рис. 6/8/1, и покажите их изоморфизм. (Указание: сколько переменных необходимо, чтобы система была машиной со входом?)
Упр. 4. Найдите такой способ переименования переменных, который обнаружит изоморфизм абсолютных систем А и В: •
|- х' = — + у |- и' = тЪ-\-и
А : { уг = — х* — у , В : { V7 = — и2 + от .
| ^ — у2 + ^ I 42)' — — V* — 12)
(Указание: на правой стороне уравнения А одна переменная встречается только один раз; то же самое и в В. Далее, в А только одна переменная находится в квадрэтической зависимости от самой себя, т. е. имеет вид а' — == ± а2 . ..; и то же самое в В.)
6/10. В предыдущем паратрафе показано, что две машины изоморфны, если -простым переименованием можно
ИЗОМОРФНЫЕ МАШИНЫ
145
сделать одну тождественной другой. Однако, как мы сейчас увидим, это «переименование» может иметь различную степень сложности.
Система, заданная только состояниями, как в предыдущем параграфе, не содержит непосредственных ссылок на части или переменные. В этом случае «переименование» может означать лишь «переименование состояний». Однако в системе с частями или переменными могут быть переименованы и переменные, а это далеко не одно и то же. Переименование переменных в конечном счете есть переименование состояний, но подчиненное значительным ограничениям разнообразия (§ 7/8), тогда как переименовайие состояний может быть сколь угодно произвольным. Таким образом, переименование состояний является более общим, чем переименование переменных.
Например, предположим, что система имеет девять состояний; произвольное переименование восьми из них нисколько не ограничивает выбор названия, которое должно быть дано девятому. Теперь предположим, что система содержит две переменные, каждая из которых может принимать три значения: хи х2, х$ и уи У2, Уъ. Всего возможно девять состояний, два из которых суть (х2, уг) и (лг3, ух). Предположим, что переменные системы переименованы следующим образом:
Если теперь (х2, Уз) преобразуется в какое-то состояние (а, р), а (х3, ух) преобразуется в (7. 8), то, во избежание противоречий, состояние (лг2, у\) должно переходить в (а, В). (Начертите фазовые пространства и укажите соответствующие значения на осях?ит].) Таким образом, в рассматриваемом случае девять состояний не могут быть преобразованы произвольно и независимо. Переименование переменных оставляет меньше простора для из-менения, чем переименование состояний.
Вследствие этого некоторые черты, уничтожаемые при переименовании состояний, сохраняются при переименовании переменных; в частности, так обстоит дело с диаграммой непосредственных воздействий.
10 Зак, 3346. У. Росс Эшби
146
ГЛАВА 6. ЧЕРНЫЙ ЯЩИК
6/11
Система, описываемая состояниями, не может, конечно, иметь диаграмму непосредственных воздействий, ибо фактически у нее только одна переменная. Напротив, система с переменными имеет диаграмму непосредственных воздействий. Фазовое пространство теперь имеет оси; и легко видеть, после немногих проб, что взаимно однозначное преобразование, переименовывающее переменные, изменяет диаграмму непосредственных воздействий по типу изменения «пуговиц и нитей» (§ 2/17), превращая, например, А в В:
Упр. 1. (Продолжение упр. 6/9/4.) Сравните диаграммы непосредственных воздействий А и В.
Упр. 2. Отметьте, какие из следующих свойств системы изменяются при переименовании ее состояний, а какие нет: (I) число бассейнов в фазовом пространстве; (II) приводимость системы; (III) число ее состояний равновесия; (IV) наличие обратной связи; (V) число циклов в ее фазовом пространстве.
Упр. 3. (Продолжение.) Как отразится на этих свойствах переименование переменных?
6/11. Вопрос об изоморфизме весьма широк и может обсуждаться здесь лишь в порядке введения. Прежде чем оставить его, заметим, что если преобразование более сложно, чем простое переименование переменных, то оно может изменить диаграмму непосредственных воздействий. Так, системы
В
А:
у = ^х2+уг) + ху + х
6/12
ГОМОМОРФНЫЕ МАШИНЫ
147
изоморфны относительно взаимно однозначного преобразования
РАи=х—у * \ у = х+у'
Но диаграмма А имеет вид
тогда как диаграмма В имеет вид
а. и ¦
т. е. состоит из двух несвязанных переменных.
«Метод нормальных координат», широко используемый в математической физике, как раз и состоит в применении преобразований, переводящих систему из первоначальной формы в такую изоморфную форму, где все переменные независимы. При таком преобразовании диаграмма непосредственных воздействий резко изменяется, но сохраняется совокупность нормальных характеристик, т. е. специфический способ поведения.
