Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь становится очевидным огромное практическое значение изоморфизма. Предположим, что возникла задача: как будет вести себя описанная выше механическая система при определенных условиях? Дан вход иу требуется определить поведение V. Реальная механическая система может оказаться неудобной для непосредственного исследования: она, скажем, слишком массивна, или малодоступна, или даже еще не изготовлена. Но если под рукой имеется математик, то ответ дается легко и быстро: математик находит выход г приведенного выше дифференциального уравнения при входе хю. В этом случае принято говорить о решении задачи из математической физики. Однако следует заметить, что рассматриваемый процесс по существу является не чем иным, как
ф
ИЗОМОРФНЫЕ МАШИНЫ
141
использованием карты — использованием удобного изоморфного представления вместо неудобной реальности.
Может случиться так, что под рукой нет математика, но есть электрик. И в этом случае можно применить тот же самый принцип. Собирается электрическая система, задается вход в х и читается выход на у. Это обычно называется «построением электрической модели».
Ясно, что ни одна из этих трех систем не имеет особых преимуществ; любая из них может заменить две другие. Так, если инженер хочет решить дифференциальное уравнение, то иногда он может найти ответ быстрее, построив электрическую систему и читая решение на у. В этом случае говорят, что он «построил аналоговую вычислительную машину». В других случаях более удобной формой вычислительной машины может оказаться механическая система. Большая универсальная цифровая вычислительная машина замечательна именно тем, что при соответствующем программировании она может стать изоморфной любой динамической системе.
Таким образом, использование изоморфных систем — обычное и важное явление. Оно важно потому, что большинство систем имеет как трудные, так и легкие для изучения участки. Когда экспериментатор доходит до трудного участка исследуемой системы, то при наличии изоморфной формы может случиться, что соответствующий участок в этой новой форме будет гораздо легче для понимания, или управления, или изучения. И опыт показал, что возможность перейти к изоморфной форме хотя и не дает абсолютно надежных результатов (ибо изоморфизм может сохраняться лишь в пределах определенной области), но тем не менее оказывает в высшей степени полезную и практическую помощь экспериментатору. В науке она используется повсеместно.
6/9. Теперь следует показать, что это понятие изоморфизма, при всей широте его применения, может получить точное и объективное определение. Наиболее фундаментальное определение было дано Бурбаки,; нам оно нужно лишь в форме, подходящей для динамических
142
ГЛАВА 6. ЧЕРНЫЙ ЯЩИК
систем. Она может применяться непосредственно, КОЛЬ скоро две машины сведены к каноническим представлениям.
Рассмотрим, например, две простые машины М и N с каноническими представлениями:
М:
а а с а с
р Ь а и с
И:
1 g к ] к
ь к к
е к к
Они не обнаруживают никакой очевидной связи между собой. Начертим, однако, их кинематические графики.
а р 8 Б
?а Ь 9 к К"
к 3
в 5
Т
к^д Ь-—з к*=^9
Рис. 6/9/1.
Рис. 6/9/2.
Эти графики имеют форму, показанную на рис. 6/9/1, и обнаруживают на вид глубокое сходство. И, действительно, простым перемещением точек в Ы, не разрывая ни одной стрелки (ср. § 2/17), мы можем получить для графиков /V форму, показанную на рис 6/9/2. Эти графики тождественны графикам М, за исключением обозначений.
Скажем точнее: канонические представления двух машин изоморфны, если взаимно однозначное преобразование состояний (входных и выходных) одной машины в состояния другой может превратить одно представление в другое.
Так, в случае приведенного примера применим к таблице N взаимно однозначное преобразование
\beghjk ¦ Рас а Ь й'
6/9
ИЗОМОРФНЫЕ МАШИНЫ
143
применяя его как к обрамлению по краям, так и к внутренней части таблицы. Получим
| с a b d
Р d b а с
a dace
Это по существу то же самое, что и М. Так, в обоих таблицах сир, стоящие по краям, дадут d. Таким образом, здесь налицо изоморфизм в смысле нашего определения. (Изоморфизм станет очевиднее, если сначала переставить строки:
| | с a b d
A dace*
Р d b а с
а затем переставить столбцы:
J а .ь с d
а а с d с
Ь а d с
однако эта перестановка столбцов служит лишь для наглядности.)
Если состояния определяются векторами, процесс по существу не изменяется. Предположим, что Я и 5 — две абсолютные системы:
я г = 5л«' = -и-^
\У=х—у {v/ = — u + v
Преобразование Р
есть сокращенное описание взаимно однозначного преобразования, соотносящего состояния 5 и /? следующим
144
ГЛАВА 6. ЧЕРНЫЙ ЯЩИК
6/10
образом:
(2, 3) в 5 соответствует (—3, 2) в #
О, 0) , , „ (0, 1) „ ,
(4, 5) , „ „ (—5, 4) , „
(-3,0) . ._._(0, -3) „ .
Т. е. (в,И) , , , (-V, и) „ „
