Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем элементарные примеры равновесия: куб, покоящийся на своей грани,; бильярдный шар на столе; конус, точно уравновешенный на вершине. Все они обнаруживают некоторое состояние равновесия. Однако равновесие конуса, очевидно, отличается, и существенным образом, от равновесия куба. Различие это обнаруживается, как только эти две системы смещаются внешним возмущающим воздействием из состояния равновесия в какое-нибудь соседнее состояние. Как должно в об-
См. подстрочное примечание, на стр. 30. — Прим. ред.
ВОЗМУЩЕНИЯ
115
щем виде представляться это смещение и его результат?
«Возмущение» есть просто то, что смещает, что передвигает систему из одного состояния в другое. Поэтому, определяемое точно, оно должно быть представлено преобразованием, операндами которого служат состояния системы. Предположим теперь, что наша динамическая система содержит преобразование Г, что а есть состояние равновесия для Т и что D есть данный оператор смещения. На обычном языке мы говорим: «Сместим систему из ее состояния равновесия, предоставим ей некоторое время следовать ее собственным законам и посмотрим, вернется ли она в то же самое состояние или нет». В алгебраической форме мы скажем: «Возьмем состояние равновесия а, сместим систему в состояние D{a), а затем найдем TD (а), T2D(a), TzD(a) и т. д. и отметим, будет ли эта последовательность состояний иметь окончание а, а, а... или нет». Говоря короче, состояние равновесия а в системе с преобразованием Т устойчиво относительно смещения D тогда и только тогда, когда .
lim TnD(a) = a.
Проверим эту формулировку на трех упомянутых примерах. В случае куба начальное состояние а соответствует наклону в 0°. Оператор D смещает куб, скажем, до 5°, а Т в конце концов возвращает его обратно к 0°, В случае с конусом (имеющим, скажем, преобразование U) D может быть тем же самым смещением, но, конечно, предел UnD(a), каков бы этот предел ни был, не есть наклон в 0°,; равновесие неустойчиво. Что касается бильярдного шара в положении а, то законы динамики не вернут его в а после перемещения, так что, по данному определению, шар неустойчив. Однако он имеет ту особенность, что пределом здесь является D(a); таким образом, шар сохраняет перемещение, ни уничтожая, ни увеличивая его. Это случай безразличного равновесия.
(Заметим, что исследовать, как ведет себя система после смещения из а, имеет смысл только в том случае, когда а есть состояние равновесия.)i
8*
116
ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ
5/7
Упр. 1. Устойчиво ли относительно возмущения Э состояние равновесия с при преобразовании Т, если Т и В имеют следующий
Упр. 2. (Продолжение.) Устойчиво ли состояние равновесия е> Упр. 3. Область, состоящая из множества состояний Ь, с и устойчива относительно преобразования II:
Каков будет результат возмущения Е, сопровождаемого повторным применением и? (Указание: рассмотрите все три возможности.)
5/7. Обычно динамическая система, изменяющаяся непрерывно, практически все время подвергается небольшим возмущениям. Электронные системы возмущаются тепловым возбуждением, механические системы — вибрацией, биологические системы — разнообразнейшими мелкими воздействиями. Поэтому на практике могут сохраняться только те состояния равновесия, которые устойчивы в смысле предыдущего параграфа. Состояния, неустойчивого равновесия не имеют большого значения в непрерывных системах (хотя они могут иметь значение в системах, изменяющихся только дискретными скачками).
Понятие неустойчивого равновесия имеет, однако, некоторую теоретическую важность. Действительно, если мы разрабатываем теорию некоторого механизма, то алгебраические операции (§ 5/3) дадут нам все состояния равновесия — устойчивые, безразличные и неустойчивые — и может оказаться необходимым исключить многие из них, чтобы свести это множество к множеству состояний, имеющих реальные шансы на сохранение.
Упр. Постройте преобразование с двумя состояниями равновесия а и Ь и двумя возмущениями Ь и ?, такое, чтобы а было устойчиво относительно О, но не относительно ?, а Ь было устойчиво относительно ?, но не относительно й.
вид:
О: Ь а й е с1?
Е: Ь е / / / й.
5/8
ВОЗМУЩЕНИЯ
117
5/8. Вообще говоря, результаты повторного применения преобразования к некоторому состоянию зависят от того, каково это состояние. Поэтому результат поисков предела
lim Тп{х)
П ->оо
будет зависеть, вообще говоря, от того, каково состояние х. Например, пусть даны два возмущения D и ? и пусть возмущение D переводит а в 6, а возмущение В переводит а в с (причем между а, Ь и с не предполагается никакой зависимости). В этом случае пределы для TnD(a) и ТпЕ(а) могут быть различными.
Таким образом, проверка на устойчивость, проведенная согласно § 5/6, может дать различные результаты в зависимости от того, действовало ли смещение D или Е. Это различие отнюдь не лишено физического смысла. Например, карандаш, уравновешенный на своем квадратном основании, может быть устойчивым относительно D, если D есть смещение на 1° от вертикали, но неустойчивым относительно ?, если Е есть смещение на 5°.
