Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Точно то же состояние (—3,—1), конечно, можно было бы получить, используя то обстоятельство, что в состоянии равновесия изменение каждой составляющей должно равняться нулю. Это условие дает х' — х = О, у' — у = О, что ведет к тем же самым уравнениям, как и ргньше.
В случае дифференциальных уравнений требование, чтобы х не изменялось со временем, равносильно требованию, чтобы равнялось нулю. Например, в системе
dt zx у dy 1
состояние (72. 1) есть состояние равновесия, так как при этих значениях переменных х и у все производные равны нулю и, следовательно, система перестает двигаться.
Упр. 1. Докажите, что U изменяет (—3, —1) в (—3, —1).
Упр. 2. Имеет ли система из последнего абзаца другие состояния
равновесия, кроме ^i, l^j?
Упр. 3. Найдите все состояния равновесия преобразования
х' = е~у sin jc, yf — х\ Упр. 4. Найдите все состояния равновесия преобразования
dx -v , dy
Упр. 5. Пусть *'«2* —= * + # + найдите значения / и К дающие состояние равновесия при (\,\). (Указание: сначала запишите уравнения в таком виде, чтобы они изображали состояние равновесия.)
Упр. 6. Если T(b)—bt то должны ли T*(b), Т*(Ь) и т. д. также равняться Ь7
112
ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ
5/4
Упр. 7. Может ли абсолютная система иметь больше состояний равновесия, чем она имеет бассейнов?
Ъ'пр. 8. Как выглядит кинематический график при преобразовании, у которого все состояния являются состояниями равновесия?
Упр. 9. (Продолжение.) Какое особое название было дано такому преобразованию в одной из предшествующих глав?
Упр. 10. Если преобразование изменится (а множество операндов останется прежним), то изменятся ли состояния равновесия?
Упр. 11. Если изменится вход машины, то изменятся ли ее состояния равновесия? (Указание: см. упр. 5.)
5/4. Цикл. К понятию состояния равновесия близко понятие цикла. Циклом называется такая последовательность состояний, что повторное применение преобразования заставляет представляющую точку пробегать повторно эту последовательность. Так, если Т имеет вид
^\аЬсс1е/^Ь '\chbhaccg'
то, начав с а, Г породит траекторию
acbhgcbhgcb...
и представляющая точка будет повторно описывать цикл
т *
Упр. 1. Напишите преобразование, содержащее два различных цикла
и три состояния равновесия. Упр. 2. (Продолжение.) Начертите его кинематический график. Упр. 3. Может ли состояние равновесия встретиться в цикле? Упр. А. Может ли абсолютная система иметь больше циклов, чем
бассейнов?
Упр. 5. Может ли один бассейн содержать два цикла? 1
* Ь пр. 6. Имеет ли цикл система —гт = У* = — *?
Упр. 7. Если замкнутое однозначное преобразование имеет конечное число состояний, то может ли траектория кончиться иначе, чем состоянием равновесия или циклом?
5/5. Устойчивые области. Если а есгь состояние равно-, весия, то Т(а), как мы видели в § 5/3, есть просто а.
См. подстрочное примечание на стр. 30. — Прим. ред.
5/5
УСТОЙЧИВОСТЬ
113
Таким образом, преобразование Т не породило из а никакого нового состояния.
То же самое явление может иметь место и для множества состояний. Так, предположим, что Т есть (незамкнутое) преобразование
Оно не имеет состояний равновесия, но множество, состоящее из 6 и преобразуется по-особенному, а именно
Другими словами, применение Т к этому множеству не порождает новых состояний. Такое множество устойчиво относительно Т.
Это отношение между множеством состояний и преобразованием, конечно, тождественно описанному выше (§ 2/4) отношению «замкнутости». (Слова «устойчивое Множество» могли бы употребляться еще с тех пор, но они могли внести путаницу, пока не было введено понятие устойчивости; а этого нельзя было сделать раньше, чем были разъяснены другие вопросы.)
Рис. 5/5/1.
8 Зак. 3346. У. Росс Эшби
114
ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ
5/6
Если преобразование непрерывно, устойчивое множество преобразований может лежать в связной области. Так, на рис 5/5/1 область внутри границы А устойчива; область же внутри В неустойчива, ибо внутри этой области есть точки, такие как Р, из которых можно выйти за пределы области.
Понятие замкнутости, или устойчивого множества состояний, имеет фундаментальное значение для наших исследований. Некоторые причины этого приводились в § 3/2, где указывалось, что только в том случае, когда множество устойчиво, преобразование может иметь все свои высшие степени.
Другая причина более подробно рассматривается в § 10/4, где показывается, что такая устойчивость тесно связана с понятием объекта, «выживающего» после некоторой операции.
Упр. 1. Какие еще множества устойчивы относительно Г? Упр. 2. Всегда ли устойчиво множество состояний в бассейне? Упр. 3. Всегда ли устойчиво множество состояний в цикле? 1 Упр. 4. Если множество состояний устойчиво относительно Т и относительно и, то обязательно ли оно устойчиво относительно иТ?
ВОЗМУЩЕНИЯ
5/6. В рассмотренных до сих пор случаях равновесие или устойчивость исследовались только для некоторого выбранного состояния или состояний. Ничего не говорилось и не подразумевалось относительно поведения в соседних состояниях.
