Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Кибернетика -> Эшби У.Р. -> "Введение в кибернетику" -> 19

Введение в кибернетику - Эшби У.Р.

Эшби У.Р. Введение в кибернетику. Под редакцией В. А. УСПЕНСКОГО — М.: Издательство иностранной литературы, 1959.
Скачать (прямая ссылка): Vvedenie_v_kibernetiku.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 144 >> Следующая

х, 74*), Щх), Т*(х), ТЦх) и т. д.
Этот процесс определения траектории по заданному преобразованию и заданному начальному состоянию называется «интегрированием» преобразования. (Этот термин особенно употребляется в том случае, когда преобразование есть множество дифференциальных уравнений, как в § 3/7; весь процесс называется тогда также «решением» уравнений.)
Если читатель проработал весь § 3/6, то, вероятно, он уже убедился в том, что, имея преобразование и начальное состояние, можно всегда получить траекторию* Поэтому он не будет обескуражен, услышав, что некоторые уравнения называются «неинтегрируемыми» или «неразрешимыми». Эти слова имеют_чи?хо, технический смысл и означают только, что траектория не может быть одгледелена, если мы ограничены некоторыми определенными математическими операциями. В своем труде ' «Механизм экономических систем» Тастин 1 ясно показывает, как экономист может стремиться изучить системы и уравнения, принадлежащие к типу «неразрешимых»; и он показывает, как экономист может на практике добиться желаемого.
1 Арнольд Тастин (род. 1899) — английский ученый, специалист в области автоматики и электронной техники. — Прим. перев.
ВЕКТОРЫ
61
3/10. Фазовое пространство. Если составляющими вектора служат числовые переменные, то преобразование можно представить в геометрической форме; и иногда эта форма обнаруживает некоторые свойства гораздо более ясно и очевидно, чем рассмотренные до сих пор алгебраические формы.
В качестве примера рассмотрим преобразование
х' = \x-\-\y,
из упр. 3/6/7. Выбрав оси х и у, мы можем представить любой данный вектор, например (8,4), точкой, у которой абсцисса равна 8, а ордината 4. Таким образом, начальное состояние системы может быть представлено точкой Р на рис 3/10/1 (I).

Рис. 3/10/1.
Преобразование превращает этот вектор в (6,6) и тем самым превращает состояние системы в состояние, отвечающее точке Р'. Конечно, это движение есть не что иное, как изменение, изображенное на кинематическом графике в § 2/17; только теперь оно изображено на плоскости с прямоугольными осями и числовым масштабом. Это двумерное пространство, в котором операнды и образы можно изобразить точками, называется фазовым пространством системы. (Свобода «пуговиц и ниток», о которой говорилось в § 2/17, здесь уже невозможна.)
62
ГЛАВА 8. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МАШИНЫ 8/Н
На том же рисунке под цифрой II показано достаточно стрелок, чтобы определить в общем виде, что происходит, когда преобразуется любая точка. Здесь стрелки показывают другие изменения, которые произошли бы при выборе других состояний в качестве операндов. Легко увидеть и легко доказать геометрически, что все стрелки в этом случае задаются одним правилом: какая бы точка ни была выбрана в качестве операнда, проводите из нее стрелку под углом в 45° влево вверх (или вправо вниз) до пересечения с диагональю, представленной линией у = х.
Теперь ясна польза фазового пространства (II): оно позволяет с первого же взгляда обозреть все траектории системы, как бы застывшие в единой картине. Благодаря этому часто бывает очень легко обнаружить какое-нибудь свойство или доказать какой-нибудь тезис там, где алгебраическая форма была бы неясной.
Представление на плоскости возможно только в том случае, когда вектор имеет две составляющие. При трех составляющих часто может оказаться полезным представление на трехмерной модели или на перспективном чертеже. Когда число составляющих больше трех, действительное представление уже невозможно, но принцип сохраняется, и схема, изображающая такую многомерную структуру, все еще может быть в высшей степени полезной, особенно когда нас интересуют не столько частные, сколько общие, топологические свойства.
[Словами «фазовое пространство» иногда обозначается пустое пространство, в которое еще не внесены стрелки (т. е. пространство, в которое может быть внесено любое множество стрелок),; иногда этими словами обозначается диаграмма, содержащая множество стрелок, свойственное Данному преобразованию, подобно приведенной выше диаграмме П. Обычно из контекста ясно, какое значение имеется в виду.]
Упр. Набросайте схемы фазовых пространств, достаточно подробные, чтобы показать основные черты некоторых систем из §§ 3/4 и 6.
3/11. Что такое «система»? В § 3/1 было сказано, что каждая реальная детерминированная машина или динамическая система соответствует замкнутому однознач
ВЕКТОРЫ 63
ному преобразованию; последующие параграфы иллюстрировали это положение многочисленными примерами. (Отсюда, однако, не следует, что такое соответствие всегда очевидно; напротив, любая попытка применить это положение в общем виде столкнется очень скоро с определенными трудностями, которые мы сейчас рассмотрим*.
Предположим, что мы имеем перед собой определенную реальную динамическую систему — качающийся маятник, или растущую культуру бактерий, или автопилот, или туземную деревню, или сердечно-легочный препарат. Предположим, что мы хотим найти соответствующее преобразование, начиная с самого начала и исходя лишь из основных принципов. Пусть, например, наша система — простой маятник длиной в 40 см. Выбрав подходящее записывающее устройство, мы отводим маятник на 30° в сторону, отпускаем его и каждые четверть секунды записываем его положение. Мы находим последовательные отклонения: 30°, 10° и —24° (по другую сторону). Поэтому первой нашей оценкой преобразования при данных условиях будет
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed