Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Упр. 19. (Продолжение.) Система затем меняется так, что ее преобразование будет х' = (х + у), = — + 100.
Новая система начинает действовать при заработной плате и ценах, равных ПО. Рассчитайте, что произойдет за ближайшие 10 лет.
Упр. 20. (Продолжение.) Начертите обычный график изменения заработной платы и цен.
Упр. 21. Сравните графики упр. 18 и упр. 20. Как можно описать их различие в терминах экономики?
Упр. 22. Если система из упр. 19 будет внезапно нарушена, так что заработная плата упадет до 80, а цены вырастут до 120, а затем вмешательство прекратится, что произойдет в ближайшие 10 лет? [Указание: примите (80, 120) за операнд.]
Упр. 23. (Продолжение.) Начертите обычный - график, показывающий изменение заработной платы и цен после нарушения.
Упр. 24. Является ли. взаимно однозначным преобразование Т между векторами (х\, х2) и (л^, х^!
[ х[ = 2хг + х2 у
'- л.
( х% — х^ -\- х%
[Указание: если дан вектор {х\, хт), то однозначно ли определяется вектор (*'ъ хг и наоборот?]
58
ГЛАВА 3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МАШИНЫ
3/7
* Упр. 25. Начертите кинематический график системы с 9 состояниями, в которой составляющими являются вычеты
х' = х + у \
i \ (mod 3). у' = У + 2 j
Сколько бассейнов в этом графике?
3/7. (Этот параграф может быть опущен.) Предыдущий параграф имеет фундаментальное значение, ибо он является введением в методы математической физики, в том виде, как они применяются к динамическим системам. Поэтому мы настоятельно советуем читателю проработать все упражнения: только таким путем можно действительно усвоить излагаемые принципы. Проделав это, он будет лучше подготовлен к усвоению настоящего параграфа, в котором подытоживается описываемый метод.
Физик начинает с наименования своих переменных: Хи x2lхп. После этого основные уравнения преобразования всегда могут быть получены следующим основным методом:
1) Взять первую переменную Х\ и рассмотреть, каково будет ее следующее состояние. Если она изменяется конечными шагами, то ее следующее состояние будет х[, а если она изменяется непрерывно, то следующее состояние будет х\ -\-dxi (вместо этого в последнем случае мы можем рассмотреть значение dx\/dt).
2) Используя все, что известно о данной системе, а также законы физики, выразить значение х[ или dxjdt (т. е. нового состояния переменной Х\) через значения, которые Хихп (и любые другие необходимые факторы) имеют сейчас. Таким путем получаются такие уравнения, как
х[ = 2ах1 — хг или dXi'dt — Aksxnxz-
3) Повторять этот процесс поочередно для каждой переменной, пока не будет выписано все преобразование.
Полученное таким образом множество уравнений (задающее для каждой переменной в системе следующее состояние этой переменной, выраженное в виде функции
3/3
ВЕКТОРЫ
59
от нынешних значений переменных и от любых других необходимых факторов) есть каноническое представление системы. Это — стандартная форма, к которой могут быть приведены все описания детерминированной дина-мической системы.
Если все функции в каноническом представлении линейны, то система называется линейной.
При заданном начальном состоянии траектория, или линия поведения, может быть вычислена нахождением степеней преобразования, как в § 3/9.
* Упр. 1. Переведите данное преобразование из канонической формы
йх№ = у
йг1(И = г-\-2ху — х*
в дифференциальное уравнение третьего порядка с одной переменной х. (Указание: исключите у и г и их производные.)
* Упр. 2. Уравнение простого гармонического колебания часто за-
писывается в виде -
Переведите его в каноническую форму с двумя независимыми переменными. (Указание: обратите процесс, исполь* зованный в упр. I.)
* Упр. 3. Переведите уравнение
в каноническую форму с двумя переменными. 3/8. После этого рассмотрения дифференциальных уравнений привыкшему к ним читателю может показаться, что теперь он пришел к «правильному» способу представления действий времени, тогда как произвольная и дискретная табличная форма из § 2/3 выглядит на первый взгляд довольно искусственной. Он должен, однако, заметить, что алгебраический способ ограничен, ибо применим только к явлениям, обнаруживающим специальное свойство непрерывности (§ 7/20), С другой стороны, табличная форма может использоваться везде, ибо табличная форма включает алгебраическую. Это обстоятельство имеет большое значение для биолога, которому часто приходится иметь дело с явлениями,
60
ГЛАВА 3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МАШИНЫ
3/8
непосредственно не приспособленными к алгебраической форме. Встретив такие явления, он должен помнить, что табличная форма всегда может обеспечить общность и строгость, в которых он нуждается. Дальнейший материал этой книги содержит разнообразные примеры того, как легко и естественно можно использовать табличную форму для представления биологических систем. 3/9. «Неразрешимые» уравнения. Упражнения § 3/6 с несомненностью показывают, что если дано замкнутое однозначное преобразование, а также некоторое начальное состояние, то траектория, начинающаяся из этого состояния, является вполне определенной (т. е. однозначной) и может быть вычислена. В самом деле, пусть х — начальное состояние, а Т—преобразование; тогда последовательные значения (траектория) х образуют ряд
