Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Упр. 3. Используя вектор (1,-1) в качестве первого операнда, найдите остальные элементы, порождаемые повторным применением оператора «поменять местами оба числа и оказавшееся слева помножить на минус единицу».
Упр. 4. (Продолжение.) Выразите преобразование через кинемати* ческий график.
Упр. 5. Первый операнд х есть вектор (0, 1. 1); оператор F определяется следующим образом:
I) левое число образа равно среднему числу операнда;
II) среднее число образа равно правому числу операнда;
*6
ВЕКТОРЫ
55
III) правое число образа равно сумме среднего и правого чисел операнда.
Таким образом, F(x) есть (1,1,2), F*{x) есть (1,2,3). Найдите /*(*), F*(x), FHx). (Указание: см. упр. 2/14/9.)
8/6. Обозначения. Последнее упражнение показывает, насколько громоздкими могут стать описания, если пользоваться только словами. Преобразование F в действительности состоит из трех подпреобразований, применяемых одновременно, т. е. всегда вместе. Например, первое подпреобразование действует на левое число, изменяя его последовательно: 0 1 -> 1 -> 2 3 5 и т. д. Обозначим эти три составляющие через а, Ь и с. Тогда можно сказать, что преобразование F, действующее на вектор (а, Ь, с), эквивалентно одновременному действию трех подпреобразований, каждое из которых действует только на одну составляющую, а именно:
Здесь а' — Ь означает, что новое значение а, т. е. левого числа образа, равно среднему числу операнда и т. д. Приведем несколько иллюстраций этого нового метода; он не включает никаких новых идей, а только новые манипуляции с символами. (Советуем читателю проделать все упражнения, так как в них выступают многие важные черты, не упоминаемые в других местах.)
Упр. 1. Пусть операнды имеют вид (а, Ь) и один из них есть ("2" , 2); найдите векторы, образуемые повторным применением к нему преобразования
F:
( а' — Ь, \ Ь' = с, \ с' = Ь + с.
[Указание: найдите Т(-^ . 2), Т2( . 2) и т. д.]
56 ГЛАВА 3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МАШИНЫ S6
Упр. 2. Пусть операнды суть векторы вида (v, wt х, у, z) и U есть
' v' — W, w' = V, U:{ х'=х,
У' = 2,
У = у.
Найдите U(а), где а = (2,1,0,2,2).
Упр. 3. (Продолжение.) Начертите кинематический график преобразования 0, если единственные его операнды суть a, U(a)t U*(а) и т. д.
Упр. 4. (Продолжение.) Как изменится график, если добавить другие операнды?
Упр. 5. Найдите образ от (3—2, 1) для Л, если дан общий вид векторов (g, h, j) и преобразование \g' = 1g-h,
А: { h'=h—j ,
I = ? +
Упр. 6. Артур и Билл решили сыграть в азартную игру. Каждый делит свои деньги пополам и по сигналу судьи передает одну половину другому игроку. Затем каждый снова делит все имеющиеся у него теперь деньги пополам и по сигналу передает половину другому и т. д. Артур начал с 8 шиллингами, а Билл — с 4 шиллингами. Представьте начальный операнд вектором (8, 4). Найдите любым доступным вам способом все последующие образы.
Упр. 7. (Продолжение.) Выразите преобразование уравнениями, как выше, в упр. 5.
Упр. 8. (Продолжение.) Чарлз и Давид решили сыграть в такую же игру, но с тем, чтобы передавать партнеру половину того, что партнер имеет. Если они начали соответственно с 30 шиллингами и 34 шиллингами, что произойдет с этими числами?
Упр. 9. (Продолжение.) Выразите преобразования уравнениями, как в упр. 5.
Упр. 10. Если в упр. 8 начать с других сумм денег, кто в общем случае должен выиграть?
Упр. 11. В аквариуме два вида микроорганизмов: хищники и их жертвы. Каждый день каждый хищник уничтожает одну жертву и делится на двух хищников. Сегодня в аквариуме m жертв и п хищников. Выразите изменение их численности с помощью преобразования.
Упр. 12. (Продолжение.) Что является операндом этого преобразования?
Упр. 13. (Продолжение.) Допустим, что начальное состояние было (150, 10); найдите, как оно изменялось за первые четыре дня.
8/6
ВЕКТОРЫ
57
Упр. 14. Некий маятник качается приблизительно в соответствии
1 1
с преобразованием *' (х — #), =-2-~г" где V —
угол его отклонения от вертикали; у — его угловая скорость; х' и и? — их значения через 1 сек. Начальное состояние (10, 10); найдите изменение угла отклонения через каждую секунду за первые 8 сек. (Указание: найдите х\ х", х"' и т. д.; можно ли найти их, не вычисляя и\ у" и т. д.?)
Упр. 15. (Продолжение.) Начертите обычный график (с осями х и 0. показывающий изменение х во времени. Имеется ли трение в этом маятнике?
Упр. 16. В некоторой экономической системе вводится новый закон, согласно которому заработная плата повышается ежегодно на столько шиллингов, на сколько процентов индекс цен превышает 100%. Экономическое влияние заработной платы на индекс таково, что в конце каждого года индекс цен равняется уровню заработной платы в начале года. Выразите изменение уровня заработной платы и индекса цен за год с помощью преобразования.
Упр. 17. (Продолжение.) Если нынешний год начался с заработной платы ПО шиллингов и с индексом цен 110%, найдите их значения за следующие 10 лет.
Упр. 18. (Продолжение.) Начертите обычный график изменения цен и заработной платы. Удовлетворителен ли данный закон?
