Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(Замечание: здесь используется ряд, открытый Фибоначчи в XII веке: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. в ряде Фибоначчи каждый следующий член равен сумме двух предшествующих: так, 3 + 5 = 8, 5 + 8=13, 8 + 13 = ... и т. д.)
Упр. 10. Каков результат двукратного применения преобразования ' п' = \/п, если операнды суть все положительные рациональные числа (т. е. все дроби)?
Упр. 11. Геометрическое преобразование. Нарисуйте на бумаге отрезок и обозначьте его концы через А и В. Этот отрезок, определяемый длиной и положением, есть операнд. Получите его образ с концами А' и В' следующим преобразованием R: А' есть середина АВ, а В' находится поворотом отрезка А'В вокруг А' на прямой угол против часовой стрелки. Проведите А'В'\ затем применяйте R повторно и выясните, как себя будет вести система.
* Упр. 12. (Продолжение.) Если вы знакомы с аналитической геометрией, примите за А точку (0,0) и за Б точку (0,1); найдите предельное положение. (Указание: определите окончательную абсциссу точки А как ряд и просуммируйте его; то же проделайте и для ординаты точки А.)
2/15. Обозначения. Способ записи, при котором образ обозначается прибавлением штриха, удобен, если рассматривается только одно преобразование; но если на п может действовать несколько преобразований, то символ nf не указывает, какое из них действовало. Поэтому иногда употребляется другой символ: если п — операнд и применяется преобразование Г, то образ обозначается через Т(п). Четыре печатных знака— две буквы и две скобки — изображают одну величину; это обстоятельство может спутать того, кто еще не привык к нему. Выражение Т(п)у которое на самом деле является переиначенным п\ может быть снова преобразовано, и тогда его следовало бы записать в виде *(?{п))> если запись единообразна; практически внешние
38
ГЛАВА 2. ИЗМЕНЕНИЯ
2/13
скобки обычно опускаются и повторяющиеся Т объединяются, так что п" пишется как Г2(я). Приводимые ниже упражнения должны приучить читателя к этому способу записи (ибо изменяется здесь только способ записи).
Упр. 2. Выпишите полностью преобразование g для операндов 6,
7, 8, если ?(6) =8, g(7) =7, g(S) =8. Упр. 3. Выпишите полностью преобразование h для операндов а,
р, Т, 6, если h(a) — т, &2(а) = Р, /*3(а) — 6, Л4(а) = а. Улр. 4. Если А(п) есть л + 2, то каково А (15)? Улр. 5. Если f(n) есть —/г2+ 4, то каково /(2)? Упр. 6. Если Т(п) есть Зя, то каково Г2(я)? (Указание: если вы не
уверены в ответе, выпишите Т полностью.) Упр. 7. Если / есть тождественное преобразование, at — один из
его операндов, то каково /(О?
2/16. Произведение. Как мы только что видели, после применения преобразования Т к операнду п образ Т(п) может рассматриваться как новый операнд для Г, что дает образ Т(Т(п)), обозначенный через Т2(п). Точно так же Т(п) может стать операндом преобразования U, что даст образ U(T(n)). Так, если имеются преобразования
то Т(Ь) есть й, а и(Т(Ь)) есть и {и), т. е. Ъ. Преобразования Т и ?/, примененные в таком порядке, определяют новое преобразование V, которое легко обнаружить:
Преобразование V называется произведением, или композицией, преобразований Г и ?/. Оно дает просто результат последовательного применения Т и II в данном порядке, каждого по одному разу.
Если сначала применяется ?/, то ?/(&) в приведенном примере есть с, а Т(с) есть а\ отсюда Т(11{Ь)) есть а, т. е. не то же самое, что И{Т(Ь)). Когда (/ и Гприме
и
ПОВТОРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
39
няются во втором порядке, их произведением служит преобразование
Для удобства V может записываться как 11Т, а №— как Ти. Всегда надо помнить, что изменение порядка в произведении может изменить преобразование.
(Заметим, что произведение V может быть невозможным, т. е. не существовать, если некоторые из образов преобразования Т не являются операндами для (Л)|
Упр. 1. Выпишите преобразование (/2Г. Упр. 2. Выпишите полностью итй.
*Упр.Ъ. Представьте Т и и посредством * матриц, а затем перемножьте эти две матрицы обычным образом (строки на столбцы), принимая, что произведение и сумма знаков + есть +; назовите полученную матрицу М\. Представьте. V матрицей; назовите ее ЛЬ. Сравните М\ и М2.
2/17. Кинематический график. До сих пор мы изучали каждое преобразование главным образом путем наблюдения за результатом его однократного действия на все его возможные операнды (см., например, § 2/3). Другой метод (применимый только к замкнутым преобразованиям) состоит в изучении действия преобразования на отдельный операнд при многих повторных применениях. Этот метод соответствует при изучении динамических систем тому, что систему приводят в некоторое начальное состояние, а затем предоставляют ей без дальнейшего вмешательства проходить серию изменений, определяемых ее внутренней природой. Так, в автоматической телефонной системе мы можем наблюдать все изменения, которые следуют за набором номера; з муравейнике мы можем наблюдать все изменения, которые последуют, если положить поблизости кусочек мяса.
Предположим для определенности, что мы имеем преобразование
