Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Упр. 1. Если А: » то каково Л2?
Упр. 2. Напишите какое-нибудь тождественное преобразование; каков его квалрат? Упр. 3. (См. упр. 2/4/3.) Каково Л2?
Упр. 4. Какое преобразование получится, если преобразование п' = п + 1 применить дважды к положительным целым числам? Ответ напишите в сокращенной форме: л' = ... (Указание: попробуйте выписать преобразование полностью, как в § 2/4.)
Упр. 5. Какое преобразование получится, если преобразование п' = 7п применить дважды к положительным целым числам? Упр. б. Если К есть преобразование
I А в с
А 0 +
В 0 0 0
С + 0 0
то каково /С2? Представьте результат в матричной форме. (Указание: попробуйте переписать К в какой-нибудь другой форме, а затем вернуться обратно.) Упр. 7. Попробуйте применить дважды преобразование
V: I Г 2 Н.
у g п к
2/12. Предыдущее упражнение поможет уяснить значение замкнутости. Незамкнутое преобразование, такое как не может быть применено дважды. В самом деле, хотя оно изменяет А в его действие на к не определено, так что оно не может действовать цальше. Незамкнутое преобразование, таким образом, подобно машине, которая делает один шаг, а затем останавливается.
ПОВТОРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
35
2/13. Исключение символов. Если преобразование задано в сокращенной форме, например формулой п' = п-{-\, то результат его двукратного применения можно также найти с помощью описанных методов. Для этого надо записать преобразование заново, показывая все операнды, осуществить его двукратное применение и затем снова сократить запись. Существует, однако, более быстрый метод. Чтобы показать и объяснить его, выпишем полностью преобразование Т : п' — п + 1 для положительных целых чисел, а внизу запишем результаты его двойного применения и поставим общий символ выполненных операций:
Здесь п" используется как естественный символ для образа от п\ так же как п' есть образ от п.
Итак, нам дано, что п' = п+ 1. Так как мы применяем то же самое преобразование снова, то п" должно быть на 1 больше, чем п'. Следовательно, п" — п' 1.
Чтобы определить однократное преобразование Г2, нам нужно уравнение, выражающее образ п" непосредственно через операнд п. Нахождение этого уравнения есть просто вопрос алгебраического исключения символов: из двух уравнений л" = я' + 1 и п' = п-\-\ нужно исключить п'. Подставляя п + 1 вместо п' в первое уравнение, получим (скобки указывают процесс подста* новки) п" = (п + 1) + 1, т. е. п" = я + 2.
Это уравнение задает точную зависимость между операндом (п) и образом (п") при Т2 и тем самым определяет Т2. Для унификации обозначений это уравнение можно переписать в виде т' — т-\- 2. Так выглядит в стандартной записи преобразование, однократное применение которого (отсюда один штрих у т) вызывает те же самые изменения, что и двукратное применение Т (замена п на ш означает простую перемену названия во избежание путаницы).
Мы высказали вполне общее правило. Так, если дано преобразование я' = 2я —3, то второе применение его
Т: |
V
3 4 5 ...
п'
5*
36
ГЛАВА' 2. ИЗМЕНЕНИЯ
2/14
даст вторые образы л", связанные с первыми формулой п" = 2п' — 3. Производя подстановку вместо п' и свободно используя скобки, получим
п"==2(2п — 3) — 3 = 4/г — 9.
Следовательно, двукратное применение преобразования п' = 2п — 3 вызывает те же изменения, что и одно применение преобразования га' = 4га — 9. 2/14. Высшие степени. Высшие степени находятся простым добавлением символов для высших образов (я"' и т. д.) и исключением символов промежуточных образов. Так, найдем преобразование, вызываемое трехкратным применением преобразования п' — 2п — 3. Выпишем уравнения шаг за шагом:
п' = 2п — гу и" = 2/г' —3, пт = 2п? — 3.
Возьмем последнее уравнение и, подставив 2п' — 3 вместо п"\ получим
Л'" = 2(2Л' — 3) — 3 = 4/г' — 9.
Теперь подставим вместо п'\
п'" = Ь(2п — 3) — 9 = 8я — 21.
Следовательно, трехкратное применение вызывает те же самые изменения, какие вызвало бы одно применение преобразования га' = 8пг — 21. Если первоначальное преобразование было Г, то трехкратное преобразование есть Т3.
Упр. 1. Исключите п' из /г" = Ъп' и п' = 3/г.
Постройте соответствующее преобразование и проверьте, что два применения преобразования п' = Зп дают тот же результат.
Упр. 2. Исключите а' из а" = а' + 8 и а' — а + 8. Уяр. 3. Исключите а" и а' из а"' «= 7а", а" = 7а', а' = 7а. Улр. 4. Исключите k' из /г" = —36' + 2, к' = —36 + 2. Проверьте, как в упр. 1.
Упр. 5. Исключите т' из т" = log m'f т' = log т. «Гяр. 6. Исключите р' из р" = (р')2, р' = р2.
Улр. 7. Найдите преобразования, эквивалентные двукратным применениям (ко всем положительным целым числам, боль
2/15
ПОВТОРНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
37
шим 1) преобразований:
(I) п' = 2п + 3;
(II) п'=*п* + п;
(III) n' = l+21ogn.
Упр. 8. Найдите преобразование, эквивалентное трехкратному применению преобразования п'=—Зл—1 к положительным и отрицательным целым числам и нулю. Проверьте, как в упр. 1.
Упр. 9. Найдите преобразования, эквивалентные второму, третьему
и дальнейшим применениям преобразования п' = п ^.
