Акустооптические устройства и их применение - Магдич Л.Н.
Скачать (прямая ссылка):
rot (1/с) Г, (1.6)
rot Е = - (1/с)Н, (1.7)
div Г =0, (1.8)
ciiv Н =0, (1.9)
Г =sE, (1.10)
здесь с - скорость света в вакууме.
Продифференцируем уравнение (1.6) по времени и подставим в него выражение для D из (1.10); к уравнению (1.7) применим операцию rot. Исключая rot Н из преобразованных таким образом уравнений (1.6) и (1.7), получим
rot rot Е + (1 /с2) (d2fdt2) (еЕ) = 0.
Используя тождество rot rot = grad div- V2, приведем последнее уравнение к виду
V2E - grad div Е = (1 /с2) (d2[dt2) (еЕ). (1.11)
Применяя тождество div ab^a div b+b grad а к материальному уравнению (1.10), с учетом (1.8) получаем
s div Е -f- Е grad г - 0. (1.12)
Предположим, что падающая волна линейно поляризована, так что электрический вектор Е перпендикулярен плоскости падения (рис. 1.6). Тогда скалярное произведение Egrads=0 и (1.11) с учетом (1.12) в окончательной форме примет вид
д*Е/дХ* + д2Е/дГ*=[(1/с2)[{д*/дР) (еЕ). (1.13)
Нужно отметить, что сделанное выше ограничение на поляризацию световой волны не является принципиальным. На это обстоятельство обратил внимание еще
14
Когельник [12], который рассмотрел также и ортогональную поляризацию. Согласно [12] при малых углах падения 0 поле волны с электрическим вектором Е, лежащим в плоскости дифракции, также удовлетворяет уравнению (1.13).
Уравнение (1.13) есть волновое уравнение для электрического поля в среде с возмущенной диэлектрической проницательностью. Следуя [7] и [10], решение волнового уравнения будем искать в виде совокупности плоских волн, распространяющихся в направлении дифракционных максимумов
Е= ? +
т=-оо
+ (к sin б - тК))Х -\kY cos 6]}, (1.14)
где Ет(У)-амплитуда дифракционного максимума т-го порядка с частотой со + mQ. Предположим, что ам-
плитуды Em(Y)-медленно меняющиеся функции координаты, так что вторыми производными dzEm(Y) jdYz в (1.13) можно пренебречь. Далее с учетом того, что Q<Ccd, и собирая в (1.13) коэффициенты при экспонентах и приравнивая их нулю, получаем систему уравнений
^Ё^П-^-[Еп+г(У)-Ет.1(У) ] = ^=~'S'(Sin9 ~т&[пЮЕт{У)' (1-15)
где m = 0, ±1, ±2,
? = &As/2cos 0so. (116)
Наибольшее значение 0 ограничено расходимостью звуковой волны A/L. Если расходимость звуковой волны настолько велика, что sin 0тах^>^ sin 0 , то в уравнении (1.15) членом msinQs в соответствии с работой Рамана - Ната [10] можно пренебречь. Легко видеть, что такое допущение соответствует параметру Q<Cl. В этом предположении решение (1.15) имеет вид [8]
Em(Y) = E'' exp (-i тКУ tg0^ х
У/ f Ч sint*ytg (9/2)] ) /I 17ч
Л т \ Кtg (0/2) />
15
где Jm - функция Бесселя m-го порядка; Е° - амплитуда падающей волны. Для интенсивности 1т т-го дифракционного максимума (интенсивность определяется, как обычно, формулой 1т=ЕтЕ*т, знак * обозначает комплексное сопряжение) при Y=L в режиме Рамана - Ната получаем следующее выражение:
где x~KL tg (0/2); /°- интенсивность падающей волны.
1.4. Дифракция плоской световой волны. Режим Брэгга
Рассмотрим более подробно решение волнового уравнения (1.13) в режиме дифракции Брэгга, следуя работам [11] и [12]. При дифракции Брэгга полями всех дифракционных порядков кроме первого и нулевого можно пренебречь. Будем считать, что в возмущенной среде распространяются только две волны: падающая ?о(У) и дифрагированная Ei(Y).
Решение волнового уравнения (1.13) будем искать в виде (1.14) для т=0; 1. В этом случае (1.14) сведется к виду
Е-=Е0 (Y) ехр {/ (оof -j- k sin ЬХ - k cos 6У)} -f-
-|-Ex (Y) exp {/ [(c"-j-Q)/-f (&sin 0 - К) X - k cos 0У]},
(1.18'
а система уравнений (115) - к двум уравнениям
dEQ(Y)/dY = Wl(Y)! 2, (1.19)
dEx (Y)jdY + i$Ex (Y) = - IE, (Y)!2, (1.20)
где p = /С (sin 0 - sin 6Б)/cos 0, величина ? определяется из (1.16).
Уравнения (1.19) и (1.20) называются уравнениями связанных волн. Физический смысл их заключается в том, что они определяют зависимость между амплитудами падающей и дифрагированной волн при их распространении в возмущенной среде. Уравнение (1.19) показывает, что изменение падающей волны определяется величиной дифрагированной волны. Из уравнения (1.20) следует, что изменение дифрагированного поля
16
зависит как от амплитуды поля падающей волны, так и от амплитуды поля дифрагированной волны. Величина g зависит от изменения диэлектрической проницаемости Де и определяет степень связи между волнами. В отсутствие акустического возмущения (Де=0) ?=0 и уравнения (1.19) и (1.20) становятся независимыми.
Система уравнений связанных волн (1.19) и (1.20) легко решается при граничных условиях (0) =0 и ?0(0)=?° (?°-амплитуда волны, падающей на область взаимодействия). Решение системы относительно E\(Y) дает выражение для амплитуды брэгговского максимума
El(Y) = -E>exp(-i4rY)wx
2
тiL
¦Кг2 + (sin еБ - sin 0)2
Л cos8 '
X---------. ......................... (1.21)
N Vw* + (sin еБ - sin 6)3 и для его интенсивности
7ZL
sin' AcosTF'r2+(sin9B-sin 0)2
/. = /0lF2------w/2 , .¦¦¦¦¦¦¦"-(tm)--------. (1.22)
1 W2 -f (sin 0Б - sin O)2 ' /
Здесь
Ц7=(Л/2Я)(Де/в). (1.23)
Как следует из (1.22), интенсивность дифрагированного света зависит от изменения диэлектрической проницаемости Ле и от угла падения 0. Если свет падает под углом Брэгга: для интенсивности дифрагирован-