Основы физической химии - Еремин В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Линейный анализ устойчивости не позволяет описать динамику системы при удалении от неустойчивого стационарного состояния. Для полного понимания надо исследовать нелинейные эффекты (пример 28-2). В нелинейных системах устойчивые стационарные состояния могут представлять собой не только отдельные точки, как в линейном режиме, но и целые траектории или поверхности. Такие состояния называют аттракторами, так как они «притягивают» к себе все близлежащие траектории в фазовом пространстве. В системах с тремя и более измерениями аттракторы могут представлять собой фрактальные объекты дробной размерности, их называют страннъми аттракторами. Первый странный аттрактор был открыт Э. Лоренцем в 1963 году при исследовании нелинейной системы уравнений, описывающих динамику атмосферы:
Г (Ш_
йУ_
= сУ -сХ
= -Ы + ХУ
(28.6)
(28.7)
(28.8)
(28.9)
То есть действительная часть равна 0.
412
Глава 6. Элементы неравновесной термодинамики
Рис 28^ Аттрактор Лоренца при -:-— г = 28, о = 10, Ь = 8/3
Эта система обладает очень богатым репертуаром различных сценариев поведения, зависящих от управляющих параметров г, о, Ь. Один из странных аттракторов для этой системы изображен на рис. 28.4.
При увеличении размерности сложность динамических систем стремительно возрастает.
Общей теории нелинейных динамических систем, находящихся вдали от положения равновесия, не существует. Сочетание нелинейности и неравновесности может приводить к невероятно сложному динамическому поведению, в котором большую роль играют флуктуации и неустойчивость к начальным условиям. Именно такие системы являются типичными в нашей жизни, и именно поэтому изучение окружающего мира представляет огромный интерес для исследователей.
ПРИМЕРЫ
Пример 28-1. Модель «хищник-жертва», предложенная Лоткой и Вольтеррой, включает следующие реакции:
А + X - к1 2Х
-
X + У - 2У
У - Л
где концентрация А - управляющий параметр. Найдите стационарные состояния этой системы и определите их устойчивость в линейном приближении.
Решение. Система кинетических уравнений для X и У имеет вид:
^ — = к АХ - к 2 ХУ
С? 12
су .
— = к2ХУ - к3У
с? 23
Приравнивая нулю правые части этой системы, находим два стационарных состояния:
1) Х0 = 0, У0 = 0;
2) Х0 = к3 / к2, У0 = кА / к2.
Глава 6. Элементы неравновесной термодинамики
413
Определим их устойчивость.
1) Вблизи Х0 = 0, У0 = 0 система уравнений в линейном приближении имеет тривиальный вид:
сХ Л
СУ Л
= к1 АХ
= -к 3У
и решение, которое является неустойчивым по координате X:
Г X (г) = X (0)ехр (к1 Аг) [У(г) = У(0)ехр (-кЗг) .
Любая небольшая флуктуация числа «жертв» - X - будет экспоненциально возрастать со временем, поэтому данное стационарное состояние неустойчиво.
2) Вблизи ненулевого стационарного состояния система уравнений приобретает вид:
Г Сх
Су
= -кк 3 у
- к1 Ах
где х = X - X0 и у = У - У0 - отклонения от стационарного состояния.
Для этой системы уравнение на собственные значения (28.6) выглядит следующим образом:
1-А, -к '
к 1А
-А
0
и имеет чисто мнимые, комплексно сопряженные корни:
А,1,2 = +/(к!кзА)ш
Это соответствует нейтральной устойчивости. В стационарном состоянии переменные X и У испытывают периодические колебания с частотой (к1к3А) . При малом возмущении этого состояния система перейдет в другое стационарное состояние с периодическими колебаниями.
В этой системе управляющие параметры не влияют на устойчивость стационарных состояний.
Ответ. Два стационарных состояния - неустойчивое и нейтральное.
Пример 28-2. Нелинейная динамическая система Пуанкаре описывается уравнениями:
Г— = ах + ву -х(х2 + у2) Сг
Су = -Зх + ау - у(х2 + у2) Сг
414
Глава 6. Элементы неравновесной термодинамики
Найдите стационарные состояния этой системы, определите их устойчивость и постройте бифуркационную диаграмму.
Решение. Заменой переменных x = r cos ф, y = r sin ф система Пуанкаре приводится к виду:
dr 3
— = ar - r
< dt
^ = -3 '
. dt
откуда непосредственно следует: ф(0 = ф0 - pt. Приравнивая нулю правую часть первого уравнения, находим стационарные состояния:
1) ro = 0;
2) ro = yfa (a > 0).
При a < 0 имеем единственное устойчивое стационарное состояние r0 = 0. При a > 0 оно становится неустойчивым, но появляется второе стационарное состояние, в котором система совершает равномерное периодическое движение по окружности. Стационарные состояния такого типа называют предельными циклами. Определим его устойчивость.
Придадим окружности небольшое возмущение: r = Va + 5r и посмотрим, как оно изменяется со временем
d^r = a(Va + 5r) - (Va + 5r)3 = -2a5r - 3yfa (5r)2 - (5r)3 ~ -2a5r, dt
8r (t) = 8r (0)exp (-2at).
Возмущение экспоненциально затухает, поэтому предельный цикл -устойчивый, он притягивает к себе все соседние траектории.
Бифуркационная диаграмма:
r0
уст. неуст.
0 a
Точка бифуркации: a = 0.
Ответ. При а > 0 имеется устойчивый предельный цикл.
| задачиН
28-1. С помощью численного эксперимента определите, в каком диапазоне значений г численность популяции (28.3) колеблется между 4 значениями.
