Основы физической химии - Еремин В.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. При 1 < г < 3 численность популяции стремится к единственному
1 1 й
предельному значению хж = 1--, которое устойчиво.
г
3. При 3 < г < гх = 3.5699456... предельного значения нет: численность популяции, независимо от начального значения х0, колеблется между несколькими значениями, число которых равно 2, к = 1, 2, ... °° в зависимости от г. Такой режим называют периодическим.
4. При гх < г < 4 поведение системы становится полностью хаотическим и непредсказуемым. При увеличении п численность популяции может принимать любые значения в интервале от 0 до 1, а набор {хп} имеет свойства случайной последовательности чисел.
Таким образом, при изменении параметра г, который определяет роль нелинейных эффектов, состояние системы изменяется от равновесного до хаотического:
Поведение
Равновесное
о °
и о
Е и
§• ^
2 *™
Я о
Он сЗ
е
0
г
1
3
4
г
Во многих случаях состояния, к которым стремятся неравновесные системы, имеют высоко упорядоченную пространственно-временную
Глава 6. Элементы неравновесной термодинамики
409
структуру; процесс образования таких состояний называют самоорганизацией. Многочисленные исследования в области нелинейной динамики показали, что
? Самоорганизация возможна в нелинейных, сильно неравновесных системах в определенном диапазоне изменения управляющих параметров.
Рассмотрим в качестве примера слой жидкости, находящийся между двумя горизонтальными плоскостями. Когда температуры верхней и нижней границ равны, система находится в состоянии теплового равновесия, а жидкость является совершенно однородной. Вывести жидкость из состояния равновесия можно путем небольшого подогрева нижнего слоя. При постоянном подводе теплоты в системе установится стационарное состояние, в котором теплота будет переноситься от нижнего слоя к верхнему, а свойства жидкости- температура и плотность - будут линейно изменяться от теплой а) области к холодной. Такое явление называют теплопроводностью. Оно описывается уравнениями линейной неравновесной термодинамики.
При увеличении разности температур между нижним и верхним слоями наблюдается новое явление: при ДТ, превышающем некоторое критическое значение ДТС, жидкость структурируется в виде небольших ячеек - так называемых ячеек Бенара (рис. 28.2.а). Жидкость в этих ячейках находится в движении - такой режим называют тепловой конвекцией, причем в соседних ячейках направление вращения потоков жидкости противоположно (рис. 28.2.б). Образование ячеек Бенара - пример самоорганизации в сильно неравновесной системе.
Для явлений самоорганизации характерны два основных свойства:
1) нарушение симметрии системы - при образовании ячеек Бенара жидкость становится неоднородной, ее симметрия понижается;
2) бистабильность - в организованной системе возможно несколько устойчивых стационарных состояний (в ячейках Бенара - с левым или правым вращением потока жидкости), причем выбор между ними происходит случайным образом.
б)
а) Ячейки Бенара. б) Движение жидкости в ячейках Бенара
Т2
Рис. 28.2
410
Глава 6. Элементы неравновесной термодинамики
А.
X
Рис 28.3 Влияние управляющего
параметра X на стационарное свойство X системы
Зависимость стационарньгх свойств системы от управляющих параметров называют бифуркационной диаграммой. Типичная бифуркационная диаграмма представлена на рис. 28.3.
При X < Хс существует единственное устойчивое стационарное состояние. Эту область изменения X называют термодинамической ветвью. При переходе через критическое значение Хс происходит бифуркация - устойчивое стационарное состояние становится неустойчивым (показано пунктиром) и образуются еще два устойчивых стационарных состояния (бистабильность). К какому из этих двух состояний перейдет система из неустойчивого состояния, определяется случайными флуктуациями.
Дальнейшее увеличение разности температур в эксперименте Бенара приведет к разрушению ячеек и возникновению турбулентности, когда свойства потока жидкости станут хаотическими. Таким образом, по мере отклонения от равновесия жидкость проходит через последовательность режимов:
Равно- Линейный Само-весие_режим | организация
Хаос
Эта последовательность является довольно общей для многих видов систем - физических, химических, биологических, социальных.
Устойчивость стационарных состояний
(28.4)
Принципы анализа устойчивости продемонстрируем на примере двумерной динамической системы:
{йх
й- = 8 (х, У)
.си
(28.5)
Пусть стационарное состояние описывается координатами х = у = 0. Вблизи этого состояния система уравнений (28.4) является линейной:
х +
у
У=0
У=0
Глава 6. Элементы неравновесной термодинамики
411
Представив решение в виде х = ехр(Х^), у = ехр(Х2г), сведем систему дифференциальных уравнений (28.5) к системе линейных алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой существует при условии:
X
у=0
у=0
0.
Это
квадратное уравнение вида
X2 - ЬХ + у = 0,
оно имеет два корня:
X ,2 = —
Ь ±^Ь2 - 4у
2
Стационарное состояние будет устойчивым, если действительные части обоих корней отрицательны: Яе{Х12} < 0. В этом случае любое отклонение от стационарного состояния со временем экспоненциально затухает. Когда хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, Яе{Хг} > 0, стационарное состояние неустойчиво, малые отклонения со временем экспоненциально растут. Если оба корня -чисто мнимые1, то система имеет нейтральную устойчивость и совершает периодическое движение по замкнутой траектории вокруг стационарного состояния.
