Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
достаточно велики, т. е. если сглаживающий эффект диффузии достаточен,
чтобы преодолеть влияние членов f(u) типа источников или стоков; мы
покажем это ниже математически. Имея в виду приведенный выше пример
(5.82), (5.84), где мы нашли критический коэффициент диффузии, ниже
которого решение не стремится к нулю с ростом времени, мы можем ожидать,
что существуют некоторые критические условия, до выполнения которых не
все начальные пространственные неоднородности сглаживаются. Мы обсудим
подробнее
250
Гл. 5. Биологические осцилляторы
некоторые аспекты этой более интересной (чем пространственно однородные
случаи) ситуации в разд. 5.9; интерес к этой области исследований
непрерывно возрастает.
Метод, который мы здесь используем, чтобы исследовать поведение решений
задачи (5.97), (5.98) с ростом времени и установить пространственную
однородность решения для достаточно больших коэффициентов диффузии,-это
энергетический метод (см., например, книгу Куранта и Гильберта (1962)).
Суть этого метода ясна из нижеизложенного. К задаче (5.97), (5.98) его
применяли также Отмер (1977) и Конвей и др. (1978).
Для иллюстрации метода мы сначала рассмотрим одномерную двухкомпонентную
систему и получим для нее указанный выше результат: если диффузия
достаточно сильна, все пространственные неоднородности сглаживаются.
Затем мы докажем его в общем случае. Пусть система (5.97) для и = (и, v)
имеет вид
и, = f(u, v) + dtuxx, v, = д(и, v) + d2vxx (5.99)
с условиями, которые следуют из (5.98)
ММ = ММ) = М<М = ММ) = 0,
и (х, 0) = u0(x), v (х, 0) = Vq (х),
где Мо(х) и Vq (х) равны нулю при х = 0 и х = 1.
Определим функцию энергии cp(t) формулой
Ф (0 = 1М(м* + v2Jdx;
О
тогда
1
Фй = И"*"* + Vxvjdx,
О
что после использования дифференциальных уравнений (5.99) для получения
их, и vxl приводится к виду
(5.100)
(5.101)
5.8. Системы реакции с диффузией в конечных областях
251
+
(М" + d2v2xx)dx + 5/ , dg'
? df , 8g
ul^ 1" ----f-MA ^-I- ,
du dv \ dv du
dx
с помощью интегрирования по частям. Внеинтегральные члены равны нулю в
силу условий (5.100), соответствующих нулевому потоку на границе.
Определим теперь
d - min(dl,d2), т = шах
И, 1>
VX + (Щ2 + (Щ + (*
du [dv [du I dv
1/2
(5.102)
где max означает максимум по всем значениям и, v для рассматриваемого
решения. Во втором выражении (5.102) можно было определить норму т иначе:
df df dg + dg
ди + dv du dv
т = шах
' и, V
При любом из этих определений нормы последняя формула для ф(г) дает
1 1
ф(г) ^ - dj(ulx + vlx)dx + mj(u* + vl)dx ^ {2m - 2n2d)<p, (5.103)
о о
где мы использовали результат
J u2xxdx ^ 7i2$u2xdx
и аналогичное неравенство для v (см. приложение 5, разд. А5.3) и то, что
для любых вещественных чисел а и b выполняется аЪ < 1/г(<22 + Ь2).
Из (5.103) мы видим, что если минимальный коэффициент диффузии d
достаточно велик, так что m - n2d <0, то ф (f) < 0 и (поскольку ф(1) > 0
по определению (5.101)) ф(t) -> 0, когда t -> оо; следовательно, их и vx
в этом процессе обе стремятся к нулю для всех 0 < х ^ 1, когда t -* оо;
отсюда следует пространственная однородность. Мы, таким образом,
показали, что достаточное условие пространственной однородности по
истечении большого времени для решений системы
252
Гл. 5. Биологические осцилляторы
реакций с диффузией (5.99), (5.100) имеет вид
т < n2d, (5.104)
где mud определены в (5.102); как указывалось, при этом есть некоторая
гибкость в определении нормы т. В любой конкретной задаче значение т
должно быть найдено (это не всегда легко); эта норма и d предписываются
конкретной ситуацией и участвующими компонентами. Результат (5.104) ни в
каком смысле не является столь точным, чтобы из него можно было получить
конкретное критическое значение коэффициента диффузии Dc и тем самым
критический размер области, как в оценке (5.88) для уравнения Фишера
(5.82) с условиями (5.84). Он указывает только на качественное поведение.
Мы вернемся к практической важности условия (5.104) в конце этого
раздела.
Рассмотрим теперь общую трехмерную задачу с п компонентами щ, i = 1, 2,
..., п, описываемую системой (5.97), (5.98). Анализ здесь проводится в
точности по той же схеме, что и в более простом частном случае (5.99),
(5.100), которую, читая дальнейшее, нужно все время иметь в виду.
Пусть
9W = yJ^|VMi|2dB, (5.105)
В I = 1
где интегрирование проводится по объему области В. Пусть d-наименьшее
собственное значение симметрической матрицы коэффициентов диффузии D =
(Z>?j); если перекрестная диффузия отсутствует, то d-просто наименьший
коэффициент диффузии для всех компонент. Определим
т
(5,06)
где и принимает все возможные значения на рассматриваемом решении, a Vu-
оператор градиента относительно и.
Дифференцируя (5.105) по t, получаем
П
ф(?)= j I VurVuitdB. (5.107)
В i = 1
Используя систему уравнений (5.97) и формулу Остроградского, приво-
5.8. Системы реакции с диффузией в конечных областях
253
дим последнее равенство к виду
