Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 95

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 154 >> Следующая

устраняется и заменяется областью быстрого изменения (рис. 5.9).
С другой стороны, если отношение конвективных членов к диффузионным мало,
то в соответствующем приближенном уравнении конвективными членами можно
пренебречь, но не на протяжении всего времени. Малая нелинейная конвекция
после достаточно длительного промежутка времени оказывает существенное
влияние (это связано с эффектами сингулярного возмущения, при котором
малый параметр не стоит множителем при старшей производной; см.
приложение 1). Упомянутые выше статьи делают это ясным, по крайней мере
для скалярных уравнений. Изучение систем реакций с диффузией и конвекцией
развито намного меньше; некоторые результаты по роли конвективного
механизма в системе хищник-жертва получены Хасимото (1974) и Ёси-кава и
Ямагути (1974).
Наиболее часто встречающимся механизмом переноса для систем реакций
является, конечно, диффузия, а именно член V • DVu в уравнениях реакций с
диффузией. В случае постоянного коэффициента диффузии это просто обычный
член DV2и, как в (5.64). Если, однако, D не постоянно, то решения системы
реакций с диффузией будут сильно отличаться от случая постоянного
коэффициента диффузии. Появление таких непостоянных коэффициентов
диффузии в системах ферментативной кинетики рассматривалось в работах
Марри (1968, 1969), где также обсуждаются решения стационарных, но
пространственно неоднородных диффузионно-кинетических систем, в
которых.!) непостоянное.
Чтобы продемонстрировать основной эффект непостоянства коэффициента
диффузии, можно просто рассмотреть в нестационарной ситуации скалярное
одномерное уравнение диффузии, в котором коэффициент диффузии D ~ и.
Рассмотрим уравнение
в противоположность решению и = V2(rcO 1/2 exp [ - x2/4t] простейшего
уравнения диффузии м, = ихх. Решение (5.78) ведет себя как волна, хо-
Щ = -х-(""*)
(5.77)
с фундаментальным решением
для t > 0, (х | < х1(
(5.78)
16-612
242
Гл. 5. Биологические осцилляторы
тя это и не волна постоянной формы. Ведущая кромка этой "волны", т.е.
точка, где и = 0, находится в х = = (6t)1/3, и скорость распро-
странения пропорциональна t ~2/3. Волновой характер поведения является
следствием обращения коэффициента диффузии в нуль при и = 0. Уравнение и,
= ихх не имеет таких волновых решений.
Выше при обсуждении систем реакций с диффузией мы фактически
интересовались только одним пространственным измерением. Когда число
измерений больше одного, математические рассуждения значительно
усложняются, но обнаруживаются новые явления. Хотя для очень многих
практических задач одномерные пространственные модели могут дать
требуемую информацию, во многих ситуациях задачи существенно двух- или
трехмерны.
Рассмотрим волновую картину, показанную на рис. 5.1 для волн, возникающих
в реакции Белоусова-Жаботинского. Развитие этих волн во времени вначале
обычно похоже на образование спирали. Именно эти вращающиеся волны в
данной реакции служат предметом работ Уинфри (1972, 1974а). Рассматривая
трехмерную структуру отдельной волны, Уинфри (1973, 1974с) показал, что
она напоминает свернутый свиток. В обзоре Тайсона (1976) также
обсуждаются эти волны наряду с другими двух- и трехмерными
пространственными эффектами. Таким образом, мы видим, что эти
специфические волны в реакции Белоусова-Жаботинского представляют собой
очень сложные структуры-своего рода спиральные свитки. Они служат
примерами (пространственно) циркулирующих волн Ч Такие циркулирующие
волны имеют отношение к сердечным ритмам и, в частности, к некоторым
болезням сердца; краткий обзор этих явлений можно найти у Уинфри (1974
Ь)2).
В серии важных статей Курамото и Ямада (1976) исследовали проблему
образования структуры в пространстве более чем одного измерения для
различных механизмов реакций с диффузией. В своей первой, основной статье
они прежде всего рассмотрели феноменологическую двухкомпонентную
модельную систему, которая может быть проще всего записана в
алгебраически удобной форме:
w, = {X - д | w |2) w 4- DV2w, (5.79)
где w = и 4- iv - комплексная концентрация, состоящая из вещественных
концентраций и и v, а Х, д и D - постоянные, которые в силу формы
(5.79), вообще говоря, комплексны. Затем влияние диффузии в (5.79)
рассматривалось как медленно изменяющаяся в пространстве модифика-
11 См. также Даффи, Бриттон, Марри (1980)*, Ларсон, Марри (1980)*,
Тайсон, Файф (1980)*, А.С. Михайлов, И.В. Упоров (1979)*.-Прим. перев.
2) См. также монографию Г. Р. Иваницкого, В. И. Кринского, Е. Е. Селькова
(1978)*.-Прим. перев.
5.8. Системы реакции с диффузией в конечных областях
243
ция пространственно однородного поведения типа предельного цикла,
существующего при D = 0. С помощью теории возмущений со многими
масштабами и численного анализа полученной системы они очень четко
продемонстрировали упомянутые выше круговые волны и спиральные картины;
диффузия действительно играет решающую роль.
5.8. Системы реакции с диффузией в конечных областях: поведение на
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed