Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
применить принцип максимума: он утверждает, что W имеет максимум при 1 =
0 или при |х | = оо. Но wmax = (и - н)тах - 0 при t = = 0 и х - ±оо, так
что W ^ 0, а потому и w < 0, т. е.
Однако u(x,t) эволюционирует к решению типа бегущей волны /(х + 4- 2г).
Отсюда следует^ что если и (х, t) эволюционирует к решению типа бегущей
волны со скоростью с, то с ^ 2: если бы скорость волны была больше чем 2,
то нарушалось бы условие (5.58). Эвристически волновую скорость с < 2 от
любого решения типа бегущей волны уравнения (5.52) следовало ожидать,
поскольку ruv ^ 0, а член - ruv можно рассматривать как дополнительный
сток в уравнении Фишера, препятствующий распространению возмущения и, в
частности, волны, монотонно изменяющейся от 0 до 1.
Мы можем получить предельные значения для волновой скорости с (г, Ь) как
функции г и b в предположении, что решения типа бегущей волны задачи
(5.52)-(5.54) существуют. Если Ь - 0, то (5.53) превращается просто в
уравнение v, = vxx, которое не может иметь волновых решений; тем самым их
не имеет и уравнение (5.52) для и. Таким образом, с (Ь -*¦ 0, г) = 0 при
г > 0. Если b -* оо, то из (5.53) следует, что v = О (мы исключаем
тривиальное решение и = 0). Отсюда с(Ь~* оо, г) = 2 для г > 0. Если г =
0, то (5.52) и (5.53) расцепляются, и (5.53) превращается в уравнение
Фишера в форме (5.27), которое с аналогичными начальными условиями имеет
волновые решения со скоростью с = 2, а потому то же относится и к г, если
b > 0. Тем самым с{Ь,г ->¦ 0) = 2 для b > 0. Если г -> оо, то и = 0 или v
= 0 ", и в любом из этих случаев здесь не может быть волнового решения,
поэтому с(Ь,г -> -> со) = 0. Таким образом, мы получили следующие
предельные случаи (см. также ниже, рис. 5.8):
5.6. Решения типа бегущего фронта волны для реакции Белоусова-
Жаботинского и сравнение с экспериментом
Волновые решения системы (5.52), (5.53), перемещающиеся со скоростью с,
могут быть записаны в виде
и (х, t) < и (х, t) для всех х и для t > 0.
(5.58)
с(0, г) = 0, г > 0; с(оо, г) = 2, г ^ О,
с(Ь, 0) = 2, Ь > 0; с(Ь, оо) = 0, 'Ь > 0.
и (х, t) = /(z), v{x, t) = g(z), z = x + ct,
(5.59)
11 Это рассуждение непонятно. Если г -* оо, a v -* 0 быстрее, то из
(5.52) получается уравнение Фишера, имеющее решение типа бегущей волны.-
Прим. ред.
232
Гл. 5. Биологические осцилляторы
что после подстановки в (5.52), (5.53) дает следующую систему уравнений и
граничных условий:
Г-qf+/(1-/-г") = 0, (5.60)
д" - eg' - bfg = 0, (5.61)
/(со) = д(-сю) = 1, /(- со) = g (со) = 0. (5.62)
Если решения этрй задачи существуют, нетрудно показать (Марри
(1976а)), что если f(z) ^ 0, то/(г) и g(zj- монотонные функции с д' < 0 и
/' ^ 0 для всех г; их типичный вид показан на рис. 5.7.
В приложении 5, разд. А5.2, показано, что скорость распространения с
волновых решений системы (5.60)-(5.62) удовлетворяет условиям
Рис. 5.7. Волновые решения постоянной формы при b = 1.25 для двух
значений
г; с-скорость волны.
(уравнение (А5.21))
г2 л Ь
1/2
[2 {Ь + 2Г)]-1'2*: с < 2.
(5.63)
Уравнения (5.52), (5.53) с типичными начальными условиями для u(x,t) и
v(х, г) (например, и(х, 0) = h{x) в (5.17) и d(x,0) = 1 - h(x)) были
решены численно. Развитие решений типа бегущей волны происходило быстро.
Проверка того, действительно ли достигается постоянная скорость бегущей
волны, потребовала оценки волновой скорости с из ее интегрального
выражения, получаемого,.например, путем интегрирова-
оо
ния (5.61) от - оо до оо и использования (5.62), что дает с = b J fgdz.
5.6. Решения типа бегущего фронта волны
233
Типичный вид фронта волны показан на рис. 5.7; скорость волны как функция
b при данном г показана на рис. 5.8. Заметим, что аналитическая кривая с2
= 4Ь(= 4(1 - г), г ^ 1) является границей для имеющих смысл решений, при
которых миг неотрицательны; вычислительная схема становится все более и
более чувствительной по мере того, как г и b приближаются к этой кривой.
Рассмотрим теперь экспериментальную ситуацию и соотнесем с ней полученные
результаты. Согласно рис. 5.7, влияние возрастающего г при фиксированном
b заключается в том, что кривая v(z) становится более пологой.
Экспериментально это означает, что влияние увеличения концентрации иона
бромида (Вг ") впереди волны состоит в том, что волновой фронт становится
толще, т.е. его крутизна уменьшается. Возрастание b при фиксированном г
делает фронт круче. Из этих рисунков волновых фронтов трудно, конечно,
точно определить толщину / фрон-
Рис. 5.8. Зависимости скорости волны с от Ъ при разных значениях г.
та: в масштабе, используемом для х, значение / можно принять равным от 10
до 30. Возвращаясь к размерным переменным, получаем, что типичная толщина
ld в силу (5.49) выражается по формуле
I D \'/2
/й=Ый) 1х 1,з'10 *см>
234
Гл. 5. Биологические осцилляторы
где мы использовали типичное значение D х 10 ~5 см2/с коэффициента
диффузии для достаточно малых молекул (в частности, для реакции
Белоусова-Жаботинского) в разбавленных системах и значения А и К3 из
