Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 88

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 154 >> Следующая

d2h dh
h(- оо) = 0, /г(сю) =1, 0 < е <
(5.37)
= 0.25.
Вновь, хотя е стоит множителем при старшей производной, задача (5.37) при
е-*0 не является задачей сингулярного возмущения, так как
** Это преобразование непосредственно связано с (5.30), так как <р = =
dh/d^-Прим. ред.
224
Гл. 5. Биологические осцилляторы
в пределе е = 0 решение, полученное для h(C,), пригодно для всех но,
конечно, задача сингулярна по координате z. Будем теперь искать решения
задачи (5.37) в виде
что после подстановки в (5.37) и объединения членов с одинаковыми
степенями е дает
Тогда через исходные переменные /, z для с > cmi" = 2 асимптотическое
(при с -" оо) решение уравнения (5.28) типа распространяющейся волны
можно на основании (5.36) и (5.38) записать в виде
Асимптотическая форма (5.39) наименее точна при с = 2. Тем не менее это
решение совпадает всюду с решением, вычисленным Фишером (1937), с
точностью в несколько процентов. Первый член + е 1-это, в сущности,
кинематическая Волна (5.11) с иначе определенным z; диффузия просто
ограничила диапазон s в этом уравнении.
Мы должны теперь рассмотреть важный вопрос об устойчивости этих бегущих
волн, т.е. решений уравнения (5.27) вида и =/(х + ct) с с > cmin>
удовлетворяющих условиям (5.15). Для более широкого класса (5.25) эта
проблема рассматривалась в работах, упоминавшихся в разд. 5.3, а также в
работах Канозы (1973) и Хоппенстедта (1974)2). Основной результат этих
исследований заключается в том, что асимптотика по времени решений
уравнения Фишера очень чувствительна к поведению начальных данных и(х,0)
при |х|-"оо. Это, в сущности, означает, что решения типа бегущих волн
неустойчивы к малым возмущениям при | z | -> оо.
Одно из интересных для практики свойств уравнения Фишера (5.27) состоит в
том, что, когда решение при начальных условиях (5.17) под-
М?;е) = МО + еМО + •••>
0(1): ~- = h0{l-h0) =э МС) = ( 1+е-{Г',
dC,
и т.д.1'
(5.38)
/ (z; с) = (1 + е ~г/с) ~ 1 +
1
с2 (1 + е ~г/с)2
(5.39)
11 Здесь использовано, кроме (5.37), условие нормировки h(0) = 1/2,-Прим.
ред.
2) См. также статью Сеттинджера (1976) *.-Прим. перев.
5.4. Асимптотическая форма и устойчивость волновых решений 225
считывается численно, оно всегда эволюционирует в волну, бегущую со
скоростью 2. Дело в том, что любые случайные эффекты, связанные с
вычислительным процессом, ограничены конечной областью. Поэтому
рассмотрим здесь устойчивость волн, когда возмущения равны нулю вне
конечной области, включающей в себя волновой фронт. Для этого класса
возмущений мы покажем аналитически, что волновые решения устойчивы. Мы
сделаем это с помощью стандартного анализа устойчивости, приведенного в
работе Канозы (1973).
Уравнение (5.27) в независимых переменных z( - х + ct) и t принимает вид
и, = u( 1 - и) - cuz + u2Z. (5.40)
Рассмотрим с ^ cmin = 2 и обозначим uc(z) волновое решение,
удовлетворяющее (5.28) с граничными условиями (5.15), как и ранее.
Рассмотрим теперь малое возмущение решения ис(г), т.е.
u(z, t) = uc(z) + zv(z, t), 0 < e " 1. (5.41)
Подставляя в (5.40) и удерживая только члены первого порядка по е,
получаем уравнение для v (z, t)
v, = [1 - 2ис (z)] v~cvz + vzz. (5.42)
Решение uL.(z) устойчиво, если для v выполнены условия
lim v(z,t) = Q или lim v(z, t) = const • dUcjz\ , (5.43)
Тот факт, что uc(z) устойчиво при выполнении второго условия (5.43),
объясняется тем, что такое v(z,t) означает просто малый сдвиг волны вдоль
оси z, поскольку
г , х ч ~ I \ , х du'W и (Z + ОZ) * uc(z) + oz---.
dz
Стандартным образом ищем решения уравнения (5.42) в виде
v(z, t) = g(z)e~u, (5.44)
что после подстановки в (5.42) дает уравнение для g(z)
в" ~ сд' + [7. + 1 - 2uc(z)]g = 0. (5.45)
Заметим мимоходом, что если X = 0, то g(z) = duc(z)/dz является решением,
но, как указывалось выше, это просто означает, что решение типа бегущей
волны инвариантно относительно переноса вдоль оси z.
Поскольку мы ввели ограничение, что v(z,t) отлично от нуля только в
конечной области, задача на собственные значения для g(z) в (5.45)
226
Гл. 5. Биологические осцилляторы
имеет граничные условия, например, вида g(±L) = 0. Если мы теперь введем
функцию h(z) с помощью замены
поскольку с > 2 и uf(z) > 0 в этой конечной области - L ^ z < L.
Стандартная теория (см., например, книгу Морса и Фешбаха (1953))
утверждает, что все собственные значения А, задачи (5.46) вещественны и
положительны, поэтому v (z, t) в (5.44) при t -> оо стремится к нулю.
Таким образом, волновое решение uc(z) устойчиво относительно всех малых
возмущений в конечной области. Теперь можно понять, почему численно
найденное решение устойчиво и всегда дает с = 2. Как указывалось выше, в
эквивалентной задаче устойчивости в бесконечной области волновое решение
неустойчиво.
Итак, мы показали, что уравнение Фишера (5.12) имеет решения и (х, t)
типа бегущей волны со значениями в интервале от 0 до 1 и с волновыми
скоростями с cmin = 2\/kD. Когда начальные данные 0 < ^ и (х, 0) < 1
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed