Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
то волны будут двигаться в обоих направлениях, как показано на рис. 5.5..
Заметим, что если для тех х, где и(х, 0) > 0, выполняется и(х, 0) < 1, то
член ku (1 - и) приводит к росту решения, так что lim и (х, t) = 1 для
f -" ОО
всех х. Можно просто считать ки(1 - и) положительным источником в
уравнении диффузии, когда и > 0, как бы малб оно ни было.
11 О роли уравнения Фишера и работы А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского
и Н.С. Пискунова (1937) в развитии теории горения см. монографию Я. Б.
Зельдовича, Г. И. Баренблатта, В. Б. Либровича, Г. М. Михваладзе (1980)*
(математические результаты приведены также в статьях И. М. Гельфанда
(1959)* и Г. И. Баренблатта и Я. Б. Зельдовича (1971)*).-Ярил*, перев.
5.4. Асимптотическая форма и устойчивость волновых решений 221
5.4. Асимптотическая форма и устойчивость волновых решений уравнения
Фишера
Эволюция во времени соответствующего начального профиля и(х, 0) для
уравнения Фишера (5.12) в решение типа бегущей волны существенно зависит
от начальных данных. Если выберем и (х, 0) согласно первому условию
(5.17), то результатом эволюции будет волна со скоростью стЫ. Здесь мы
получим асимптотический профиль полностью развитой волны аналитически; в
основном мы следуем процедуре, изложенной Канозой (1973): этот метод
выбран из-за его потенциально широкой применимости.
Если мы запишем
то в (5.12) постоянные к и D больше не будут входить в уравнение явно,
поэтому без потери общности мы можем рассмотреть уравнение
Тогда решения типа бегущей волны u(x,t) = /(х + ct) удовлетворяют
уравнению
для решений которого, как и раньше, должны выполняться условия
(5.15) и 0</< 1. Результаты применения метода фазовой плоскости,
изложенные в разд. 5.3, показывают, что для каждого с > cmin = 2
существует единственное волновое решение, удовлетворяющее (5.28) и (5.15)
(сравните с (5.16)). Уравнение в фазовой плоскости для (5.28) имеет вид
(сравните с (5.18))
и заметим, что для всех волновых решений е < emax = 1 /c2in = 0.25.
Уравнение в фазовой плоскости (5.29) в переменных (5.30) принимает вид
t' = kt,
и, = и (1 - и) + ихх.
(5.27)
/" - с/' +/(1 -/) = 0,
(5.28)
d'F_ = cF -/(1 -/) df F
(5.29)
Введем
e = 1/с2, ф = cF
(5.30)
d<P = ф -/(1 ~ /) df Ф
(5.31)
его можно рассматривать как возмущенное, считая е малым, поскольку е <
0.25. Однако это не задача сингулярного возмущения, как можно
222
Гл. 5. Биологические осцилляторы
было бы ожидать исходя из того, что в (5.31) при старшей производной
стоит малый параметр
Будем искать решения уравнения (5.31) в форме
что после подстановки в (5.31) и приравнивая членов с одинаковыми
степенями е дает
Теперь на основании (5.30), (5.32) и (5.33) можно записать
асимптотическое решение для 0 < е " 1 в терминах F и /:
Заметим, что F(0; е) = F(l;e) = 0 до любого порядка по е1/2, как,
конечно, и должно быть. До членов порядка 0(е1/2) график F(f)
представляет собой просто параболу, симметричную относительно / = 112.
Мы можем теперь получить качественную меру того, как скорость волны
зависит от крутизны волнового фронта. Максимум фазовой траектории,
проходящей через (0,0) и (1,0), т. е. точка, где dF /df = 0,
соответствует в физической плоскости (/, z) точке перегиба, где /" = 0.
Мерой физической крутизны волны может быть величина s наклона в точке
перегиба. Из (5.34) координаты (/ F) точки максимального наклона решения
в сингулярных точках задаются выражением
Ф (/; е) = g0{f) + кдАЛ + ...,
(5.32)
0(1): Зо (Л =/(1 - Я,
0(?): 9АЛ = 9о-~г =/(1 - Л(1 - Ш "/
0(е2): д2(Л = С/2 (1, - Я2 U ~ 2Л] и Т-Д-
(5.33)
F(/;e) = е1/2/(1 - Я + е3/2/(1 - Л(1 ~ V) +
+ е5/2-|:[/2(1 -Я2(1 - 2Л] + 0(е7'2).
(5.34)
(/, Л = (ЛЯ =
])
Таким образом, для малых е крутизна
(5.35)
1( Это связано с тем, что единственное решение, которое получается как
сумма ряда вида (5.32) по степеням е, удовлетворяет требуемым граничным
условиям <р(0) = ф(1) = 0-Прим. ред.
5.4. Асимптотическая форма и устойчивость волновых решений 223
откуда следует, что чем быстрее волна, тем менее она крутая. Поскольку
крутизна волны обратно пропорциональна толщине I, этот последний
результат означает, что скорость волны с прямо пропорциональна ее
толщине, и, следовательно, в первом приближении для всех волн, какой бы
скоростью они ни обладали, требуется одно и то же время для прохождения
мимо неподвижного наблюдателя. Для s и /, определенных формулами s = 1/4с
= 1 //, эти результаты иллюстрируются рис. 5.6.
Чтобы получить асимптотический профиль волны для малых е, подвергнем
растяжению непосредственную окрестность фронта волны. Поскольку множество
решений инвариантно относительно любого сдвига
Рис. 5.6. Крутизна s и ширина / волновых решений уравнения Фишера для
двух значений скорости волны, сЛ > с2.
вдоль оси z, примем для определенности, что z = 0-точка, в которой / = 1
/2. Введем переменные
f(z) = h(Q, С = z/c =
(5.36)
в которых уравнение (5.28) и граничные условия (5.15) принимают
соответственно вид
