Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
времени:
она определяется из начальных концентраций, при запуске реакции.
Вернемся теперь к системе Михаэлиса-Ментен (1.1), (1.2) с константами
скорости fcj, /с_1 и к2. Обозначив переменные концентрации субстрата S,
фермента Е, комплекса SE и продукта Р соответственно буквами s, е, с и р,
получим из закона действующих масс скорости изменения этих четырех
концентраций в виде
ds
- = - fcjse + (1.8) dt
de
- = - ktse + (k_j + k2)c, (1.9)
dc
~dt
- fcjSe - (k_4 + k2)c,~ (1-Ю)
dp
-? - к*. о-в)
Естественные начальные условия для (1.8)-(1.11) соответствуют тому, что в
начальный момент концентрации субстрата s и фермента е даны и отличны от
нуля, а концентрации комплекса с и продукта р равны нулю, т.е.
s(0) = s0 > 0, е(0) = е0 > 0, с(0) = р(0) = 0. (1.12)
Уравнения (1.8)-(1.12) образуют корректно поставленную математическую
задачу.
Если мы сложим (1.9) и (1.10), проинтегрируем и воспользуемся
соотношением (1.12), мы получим закон сохранения (сравните с (1.7)) для
ей с, а именно
е + с = const = е0. (1.13)
Таким образом, если с известно, (1.13) дает е, а из (1.11)
интегрированием находим р:
p(t) = k2j c(f)df. (1-14)
о
Тем самым наряду с (1.13) и (1.14) нам нужны только два уравнения из
системы (1.8)-(1.11). Выбирая (1.8) и (1.10) и исключая е с помощью
(1.13), получаем для s и с два уравнения:
^ = - К e0s + (kts + к_х)с, (u5)
16
Гл. 1. Ферментативная кинетика
dc
- = kxe0s - (k1s + k_x + k2)c (1.16)
dt
с начальными условиями (1.12).
Решения уравнений (1.15), (1.16) с указанными начальными условиями для
этих простейших реакций нельзя найти аналитически, но они могут быть,
конечно, достаточно просто подсчитаны численно. Их характер может быть
выяснен из элементарных соображений: 5 монотонно убывает от s0 до нуля, а
с возрастает до максимума, а затем вновь убывает до нуля. С помощью
анализа фазовой плоскости (изложение этого метода имеется, например, у
Минорского (1974) или Сансоне и Конти (1964) '*) также можно совсем
просто выяснить это поведение. Есть, однако, несколько причин провести
описанный ниже анализ. Он не только показывает, как можно относительно
легко получить биологически осмысленные приближенные аналитические
решения системы (1.15),
(1.16), но и описывает общую процедуру, пригодную для более сложных
систем. Этот метод широко применялся в последние годы для анализа более
сложных биохимических моделей, особенно таких, поведение которых носит
колебательный характер. Мы обсудим некоторые из них в гл. 4 и 5. Столь же
важно, по-видимому, что он ставит широко употребляемую теорию этой
фундаментальной реакции на строгую математическую основу и указывает (в
биологических терминах) условия ее практической применимости.
Для вывода кинетического закона Михаэлиса-Ментен (см. (1.17)) из
уравнений (1.15), (1.16) часто используется следующее крайне
неудовлетворительное рассуждение. Поскольку фермент присутствует лишь в
малых количествах, то de/dt х 0, и тогда, согласно (1.13), та часть
графика с ((), на которой с убывает во времени, является почти
горизонтальной и, таким образом, на протяжении почти всей реакции dc/'dt
X 0. Поэтому из (1.16) можно выразить с через s, в результате чего после
подстановки этого выражения в (1.15) и простых преобразований система
(1.15), (1.16) сводится к виду
ds _ - k2e0s e0s " _ fc_, + k2 м 1<тч
dt s + К ' C s + К' kt ' ( }
Это и есть кинетический закон Михаэлиса-Ментен, который в форме
(1.17) известен как гипотеза псевдостационарного состояния. Он весьма
широко используется и дает отличное совпадение с большим числом
экспериментов. Однако имеются экспериментальные ситуации, когда (на
первый взгляд необъяснимо) гипотеза не выполняется и получаются па-
11 См. также на русском языке книги Лефшеца (1961)*, Рейссига, Сансоне,
Конти (1974)* и Н.Н. Баутина и Е. А. Леонтович (1976)*.-Ярим. ред.
1.2. Теория Михаэлиса-Ментен
17
радоксальные результаты. Математический анализ, представленный ниже,
покажет точно, когда такая гипотеза является верным приближением полной
системы, и будет дан конкретный пример, как подобный анализ разрешает
кажущийся парадокс в некоторых экспериментальных результатах.
Признаки трудностей с соотношениями (1.17) возникают при интегрировании
первого уравнения и использовании начального условия 5 (0) = s0. Это дает
для s (г) выражение в неявной форме
s (t)
s(t) - s0 + К In = - k2e0t. (1.18)
s0
При таком s(t), однако, с (г) из (1.17) не удовлетворяет начальному
условию (1.12) (с(0) = О)1'. Такого рода трудностей следовало ожидать,
поскольку, пренебрегая dc/dt, мы понижаем порядок системы, что обычно
означает отказ от возможности удовлетворить граничному условию.
Прежде чем приступить к анализу системы (1.15), (1.16), следует записать
уравнения в безразмерной форме. Этот шаг имеет особую важность при
анализе любой модели биологической системы2'. В книге Лина и Сиджела
(1974) по прикладной математике, обладающей подлинной практической
