Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 55

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 154 >> Следующая

(см. определение (i) на стр. 141). Малое возмущение мало меняет частоту,
но длительное малое возмущение может сильно изменить и орбиту, и частоту-
Прим. ред.
4.3. Некоторые общие принципы для реальных биологических осцилляторов 141
дают неустойчивый предельный цикл г = 1, 0 = 90 + t. Предельные циклы
подробно обсуждаются в упомянутых выше книг-ax. Таким образом, важным
моментом является здесь то, что наблюдаемые воспроизводимые биологические
колебания должны представлять собой устойчивые предельные циклы. Мы еще
вернемся к этому в дальнейшем.
Уточним теперь наше определение устойчивости в общем случае и рассмотрим
это понятие для общей системы кинетических уравнений, которая может быть
записана в форме
dx-
х2, .... х"), i = 1, 2, ..., п,
(4.16)
^ t, \
где x(t)-вектор концентраций реагентов в рассматриваемой системе. Такие
системы уравнений, причем не только относящиеся к классу автономных (т.е.
таких, что t не входит явно в f(x), как в (4.16), обсуждаются с
достаточной степенью общности во многих книгах, например в монографии А.
А. Андронова и др. (1959). Классические работы по нелинейным уравнениям
этого класса-это по-прежнему работы Пуанкаре (1892-1899).
Есть два главных аспекта устойчивости, которые нас интересуют. Рассмотрим
вначале более строгий из них:
(i) Если х0 (t) (т < t < оо)-решение системы (4.16), то мы говорим, что
х0 (f) устойчиво, если для любого е > 0 и г0 > т существует такое 5(е,
t0) > 0, что если Xi (t)-любое другое решение системы (4.16),
удовлетворяющее
||х, (t0) - Х0 (to) jj < 5(e), то ! х j (t) - x0(t)|| < е для всех t >
t0.
(4.17)
Такая устойчивость иногда называется устойчивостью по Ляпунову. Если,
кроме (4.17), решение х (t)->• х0 (t), когда t -> оо, то мы говорим, что
решение х0 (t) асимптотически устойчиво. Устойчивость таких систем
обсуждается в упомянутых выше книгах, а также в монографии Чезари
(1959)1).
(ii) Если совокупность всех траекторий x(t) системы (4.16) сохраняет в
том или ином смысле структурное подобие, когда правые части этой системы
подвергаются достаточно малым возмущениям, то мы говорим, что система
(4.16) в рассматриваемом смысле структурно устой-
11 См. также книгу Е. А. Барбашина (1967) *.-Прим. ред.
142 Гл. 4. Биологические осцилляторы I. Однородные колебания
чиеа. При этом траекторией или орбитой системы (4.16) называется линия,
которую описывает точка х = x(f) в фазовом пространстве х, где х (t)-
какое-либо решение этой системы. Можно говорить о структурной
устойчивости системы (4.16) и в какой-либо интересующей нас области
фазового пространства х. Требование структурной устойчивости
математической модели реального процесса представляется естественным в
связи с тем, что правые части системы (4.16) не могут быть известны
совершенно точно, а общий характер процессов, описываемых данной
системой, не должен зависеть от этой неточности.
Рис. 4.5. Пример решения типа предельного цикла.
Возвращаясь к системе Лотки-Вольтерры (4.4), (4.5) и соответствующему
рис. 4.3, мы видим, что малое изменение правых частей (происходящее,
например, из-за неучтенных в (4.1)-(4.3) малых взаимодействий) может
превратить замкнутые траектории в спирали и тем самым качественно
изменить общую картину. Поэтому данная система не является структурно
устойчивой. Все консервативные системы структурно неустойчивы.
С точки зрения устойчивости предельный цикл автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений-это траектория, отвечающая
периодическому решению, не принадлежащая непрерывному семей-
4.3. Некоторые общие принципы для реальных биологических осцилляторов 143
ству замкнутых траекторий и обычно обладающая структурно устойчивой
окрестностью. Типичный устойчивый предельный цикл в двумерной фазовой
плоскости показан на рис. 4.5. Предельный цикл может быть и неустойчивым:
пример этого содержится в приложении 4, где доказана важная теорема
существования предельных циклов; другой, тривиальный пример был указан на
с. 140.
Во многих задачах, сводящихся к системе дифференциальных уравнений,
например (4.16), система сохраняет структуру для некоторого диапазона
какого-либо параметра X, но в момент перехода X через некоторое
критическое значение Хс ее структура меняется. Это значение лс называется
точкой бифуркации системы. Может быть несколько параметров X, между
которыми имеются критические бифуркационные соотношения, а также
несколько значений Хс для одного параметра, когда, например, предельный
цикл переходит из устойчивого состояния в неустойчивое и обратно. В разд.
4.5 и 4.6, где мы обсуждаем реакцию Белоусова-Жаботинск ого, мы увидим
практический пример бифуркации и ее важности. Простая иллюстрация
приведена в разд. 4.4 и вновь в разд. 4.8 и 4.9. Понятие бифуркации
решений широко используется, например, в нелинейной теории
гидродинамической устойчивости.
Для двумерных систем имеется хорошо разработанная теория, и метод фазовой
плоскости является основным орудием получения аналитических результатов;
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed