Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 24

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 154 >> Следующая

приведены в табл. 2.1 для гемоглобина и миоглобина. Для этих значений все
параметры а, р, у, 5 и X велики, порядка О (Ю6). Мы не можем точнее
указать их значения, поскольку У0, Yt и с, в (2.20) неизвестны, но мы
знаем, что с,/с0 " 1 и У0 - Yt < 1. Если мы введем теперь постоянные а,
Ь, d, е, f и е с помощью соотношений
ос = а/е, Р = Ь/г, у = d/e,
5 = е/е, X=f/s, е = 10~б"1,
то а, b, d, е и / будут все порядка 0(1). Уравнение (2.19) приводится к
виду
Так как 0 < е" 1 и a, b, d, е, f сДхД, все порядка 0(1), уравнение
(2.23) является "Сингулярным при е -* 0, потому что, если положить в
(2.23) е = 0, порядок уравнения понижается и мы, вообще говоря, не можем
удовлетворить граничным условиям. Как и в гл. 1, следует ожидать, что
решения порядка 0(1), которые мы получим, полагая zd2cjdx\ всюду порядка
О(е), не будут удовлетворять граничным условиям (здесь при Xi = 0 и Xi =
1). Таким образом, следует ожидать, что существуют
Ci = 1 ПРИ X! =0, С1 = С,/С0 При X! = 1.
(2.21)
(2.22)
(2.23)
2.3. Асимптотические решения и сравнение с экспериментом
61
узкие сингулярные области вблизи границ, где zd.2cjdx\ = 0(1),
позволяющие внешнему решению уравнения (2.23) с е >= 0 сращиваться с
внутренним решением, удовлетворяющим граничным условиям. Соответствующие
внутренние переменные для (2.23) здесь следует выбрать в виде
| ^
Е, = х,/?1/2 вблизи Xi = 0; т| = -вблизи х, = 1, (2.24)
в результате чего ed2c1/dxj переходит в d2cl/dt,2 вблизи xt = 0, т.е. Е,
= = 0, и в d2cjdr\2 вблизи Xj = 1, т.е. т| = 0. Преобразования типа
(2.24) позволяют растянуть сингулярные области (здесь с коэффициентом
1/е1/2 " 1), после чего они могут быть исследованы детально. Согласно
(2.24), толщина каждой из этих сингулярных областей вблизи границ имеет
порядок 0(е1,2). Таким образом, если функция c^xj должна изменяться столь
быстро, чтобы внешнее решение сопрягалось с внутренними, эта область
быстрого изменения по переменной х, в размерных единицах имеет порядок
0(е1/2/), что для / из табл. 2.1 и е = 10" 6 соответствует толщине
порядка 0(10"5 см)-практически очень малой величине. В действительности
эти сингулярные слои настолько узкие, что крайне невероятно биологически,
что концентрация с(х) и У(х) может резко изменяться в этих слоях.
Поэтому, опираясь на такое естественное биологическое ограничение, мы
приходим к выводу, что здесь не может быть сингулярных слоев с резким
изменением с и У и, следовательно, внешнее решение до порядка 0(1),
полученное из (2.23) при е = 0, должно удовлетворять граничным условиям
(2.21). На этой основе мы можем определить соотношения между У0, Y, и с,
через параметры задачи. Следует еще раз подчеркнуть, что этот вывод
обусловлен тем фактом, что е достаточно мало, т. е. по крайней мере один
из параметров а, Р, у, 5, X должен быть достаточно велик, чтобы
сингулярная область была достаточно узкой для использования практического
биологического ограничения. В экспериментах Уиттенберга (1966) и большом
числе других практических ситуаций соответствующее е достаточно мало.
Обозначим с<10)(х1) внешнее решение (2.23) порядка 0(1). Это означает,
что мы ищем решения уравнения (2.23) в форме
с,(х,) = cHxi) + о(1), е-О1', (2.25)
что после подстановки в (2.23) и удерживания членов порядка 0(1)
позволяет найти c^Xj) как соответствующее (повсюду неотрицательное)
11 Через о(1) обозначен член, стремящийся к нулю при е -> О,
62
Гл. 2. Облегченная диффузия
решение простого квадратного ургСвнения
(а + dxt) + (b + ex,)c(i0) + fcf)2 = О, или с учетом (2.22)
(а + ух,) + (Р + 5х,)с<0) + ХсТ2 = 0. (2.26)
Неотрицательный корень этого уравнения имеет вид
= ^[- (Р + Sx,) + {(Р + 5х,)2 - 4Ца + ух,)}1/2]. (2.27)
Однако из приведенных выше рассуждений вытекает, что это решение должно
удовлетворять условиям (2.21), так что с[0>(0) = 1 и с(,0)(1) = = с,/с0.
Из (2.26) получаем
с<,0,(0) = ls=>a + P + y = 0, что после подстановки ос, р и у из (2.20)
приводится к виду
|228>
Из (2.26) следует также
сП1) = С,/С0^ а + у + (Р + 8)с,/с" + Мс,/с0)2 = 0, что с учетом выражений
из (2.20) приводит к соотношению
?' = к • (129)
k,q + к_,
Таким образом, если с, или Y0 - Yl дано, все остальные неопределенные
постоянные находятся из (2.28) и (2.29). Отсюда определяются все
параметры а, р, у, 8 и X в (2.20), и, следовательно, с(,0)(х,) в (2.27)
полностью находится, удовлетворяет граничным условиям (2.21) и
представляет собой решение порядка 0(1) уравнения (2.19) для малых е.
Подстановка с^х,) в (2.16) немедленно дает У(х,) с точностью до 0(1) для
малых е. Мы должны добавить здесь, что в действительности не погрешили
против математики, найдя решение порядка 0(1) для малых е с помощью лишь
двух из четырех граничных условий (2.21). Вместо этого мы использовали
биологическое ограничение, т. е. выбрали тип допустимых решений. Это
позволило нам найти весьма легко очень простое аналитическое решение.
Предположение, подсказанное биологическим смыслом задачи и доказанное в
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed