Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
хлорокруорин. Наиболее известным является, конечно, гемоглобин: это
единственный дыхательный пигмент у позвоночных, и он имеется в избытке в
красных кровяных клетках.
Эта глава представляет собой подробное описание успешного
междисциплинарного сотрудничества.
2.2. Стационарная модель
и описывающие ее уравнения
В экспериментах Уиттенберга (1966) мембрана, содержащая гемоглобин (с тем
же успехом это мог быть миоглобин) в растворе, разделяла две газовые
камеры, в одной из которых поддерживалась заданная концентрация
кислорода, в то время как в другой концентрация кислорода поддерживалась
как можно более близкой к нулю. Поток кислорода через мембрану измерялся
для некоторого диапазона разностей давлений кислорода поперек мембраны.
Для того чтобы оценить количественно вклад, который вносил гемоглобин в
диффузию кислорода, измерялся и необлегченный поток при отсутствии в
растворе гемоглобина, связывающегося с кислородом. Некоторые
экспериментальные результаты для гемоглобина и кислорода приведены на
рис. 2.3; на этом же рисунке и на рис. 2.4 и 2.5 приведены также
результаты последующего анализа.
2.2. Стационарная модель и описывающие ее уравнения
53
Имея в виду упомянутые выше эксперименты, рассмотрим >слой раствора
толщиной I см, через который происходит диффузия кислорода (рис. 2.1). В
растворе имеется белок, для конкретности гемоглобин (НЬ), который
обратимо соединяется с субстратом, здесь с кислородом (02). Пусть с0 и
с,- концентрации кислорода, выраженные, например, в моль/см3,
соответствующие высокому давлению (х = 0) и низкому давлению (х = /),
причем ось х выбрана перпендикулярно поверхностям мембраны. Рассмотрим
одномерную стационарную модель (нетрудно применить эту модель и к дву- и
трехмерным системам). Пусть (с = с(х))-концентрация свободного кислорода
в слое, ср-концентрация белка, а сс- концентрация гемоглобин-кислородного
комплекса.
Реакция гемоглобина с кислородом может быть адекватно описана
Рис. 2.1. Схема одномерной модели мембраны.
мембрана - L -
У
У
/
/
/
/
х*
/
/
/
/
/
X
/
/
/
X
/
/
С = С/
двумя константами скорости, а именно, kt и к-г:
fci
02 + НЬ - НЬ02. (2.1)
(С-1
В случае, когда белком-носителем является миоглобин (Mb), схема (2.1)
точно описывает реакцию с кислородом (или окисью углерода): миоглобин
имеет только один центр, связывающий кислород. Для гемоглобина, имеющего
четыре связывающих центра на молекулу кислорода, формула (2.1) достаточно
хорошо описывает кинетику, за исключением того случая, когда гемоглобин
почти полностью насыщен субстратом. Значение к_ 1 можно, безусловно,
считать постоянным. Константа скорости к j -прямой реакции-зависит от
насыщения гемоглобина, но эта зависимость заметна лишь при почти полном
насыщении. Уаймен (1966) предположил, что в качестве кг можно принять
некоторое среднее значение, так что в (2.1) мы считаем /с, и к_г
постоянными; надежные экспериментальные значения для этих констант в
схеме (2.1) были даны Уиттенбергом (1970) и приведены в табл. 2.1.
54
Гл. 2. Облегченная диффузия
Таблица 2.1
Гемоглобин Миоглобин
С[, моль/см3 1.2-10 _ 5 1.2-10 ^ 5
Dp, см2/с 2.45 -10" 7 4.35 • 10 "
/, см 2.2 • 10 " 2 2.2 10 2
Dc, см2/с 1.2 10 "5 1.2-10 " 5
ку, см3/(моль-с) 2.85 .Ю9 1.4-Ю10
к-ь с'1 40 11
с0, моль/см3 (Ро2 - 100 мм рт. ст.) 1.56 10 " 7 1.56 • 10 ~
Молекулярный механизм, предложенный Уиттенбергом (1966), состоит в том,
что молекулы белок-субстратного комплекса в (2.1) диффундируют и
вследствие обратимости реакции усиливают тем самым диффузионный поток
кислорода. Поэтому при построении модели мы будем предполагать, что НЬ и
НЬ02 диффундируют в мембране. Разумно также предположить (хотя это и не
обязательно для формулировки модели), что они имеют одинаковый
коэффициент диффузии, поскольку молекула гемоглобина чрезвычайно велика
по сравнению, с молекулой лиганда. Пусть общий коэффициент диффузии НЬ и
НЬ02 равен Dp см2 с1, а свободного кислорода Dc см2 - с1;
экспериментально они были тщательно измерены Риверос-Морено и
Уиттенбергом (1972) для jDp и Уиттенбергом (1970) для Dc и приведены в
табл. 2.1.
В рассматриваемой модели различные компоненты непрерывно реагируют и в то
же время диффундируют. Приведем краткий вывод1' уравнения, которому
удовлетворяют такие системы реакций с диффузией. Если реагент (например,
с) диффундирует с коэффициентом Dc, то его поток есть J = - Д. Vc. Будем
предполагать, что скорость реакции с описывается некоторой кинетической
константой р (обычно согласно закону действующих масс). Рассмотрим теперь
произвольный объем V, ограниченный поверхностью S, полностью лежащей
внутри области, где происходит реакция с диффузией. Из баланса реагента с
следует
5с
dt
dV +
J ndS +
pdV = 0.
Здесь первый интеграл описывает скорость изменения с в V; второй
интеграл-поток (за единицу времени) с из К через поверхность S; третий
11 Полный вывод уравнения диффузии см., например, в книге Кранка (1975).
