Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
прекрасно понимает, что решающим звеном прикладного математического
исследования является правильно выбранная математическая модель,
одновременно достаточно адекватная и не слишком сложная. Поэтому он
многократно возвращается к неформальному обсуждению постановок задач,
анализу возможных значений параметров, сравнению результатов с натурными
и численными экспериментами и т. д. Это, конечно, значительно повышает
прикладную ценность его работы.
При работе над русским изданием мы пытались устранить замеченные
погрешности и неточности английского издания. Однако мы не стремились
доводить рассуждения автора (даже математического характера) до уровня
"чистой математики": хотя в большинстве случаев это можно сделать без
особого труда, такая переделка противоречила бы всему стилю книги.
Отметим, что автор принял участие в обсуждении дополнения и в решении
отдельных вопросов, возникших при переводе и редактировании, любезно
прислал список опечаток и исправлений; мы благодарны ему за это.
Книга рассчитана на читателей, интересующихся проблемами математической
биологии. Для ее понимания достаточно простых сведений из теории
дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными);
другие необходимые математические результаты, а также сведения из
биологии автор приводит по ходу весьма подробного изложения, подводя
читателя к современному состоянию рассматриваемых вопросов.
Надеемся, что читатель получит от этой интересной книги такое же
удовольствие, которое испытали мы при ее переводе и редактировании.
В. Г. Бабский А. Д. Мышкис
ПРЕДИСЛОВИЕ
Использование математики в попытках сформулировать биологические законы
имеет длительную историю. Леонардо Пизанский, более известный как
Фибоначчи, еще в 1202 г. имел ясное представление о росте популяций. В
упражнениях к своей книге по арифметике11 он приводит анализ простой
модели популяции кроликов и в результате получает число пар^кроликов по
истечении каждого следующего месяца, отправляясь от одной пары и
некоторой модели воспроизведения. Эти числа хорошо известны как числа
Фибоначчи. Более серьезную и систематическую попытку введения в биологию
математического формализма сделал Джованни Борелли в 1680 г.2). Он
предложил геометрический подход к механике движения животных, включая
человека. Его анализ, основанный на статике, является количественным. Эта
работа, кстати, была опубликована за несколько лет до "Начал" Ньютона. В
XIX в. отмечается вспышка интереса к междисциплинарным исследованиям у
некоторых крупных математиков и естествоиспытателей того времени. Д'Арси
Томпсон под влиянием устремлений XIX в. к более строгому формализму в
биологии опубликовал в 1917 г. фундаментальной важности труд "О росте и
форме"31. Эту книгу можно в той или иной степени считать началом создания
современной теоретической биологии. Она охватывает невероятно широкий
круг биологических вопросов, объединенных возможностью применения к ним
математики. С 1920 г. число значительных работ в этой области возрастает,
и в этой книге мы будем ссылаться на многие из них. В связи с
замечательными успехами теоретической генетики особенно следует отметить
книги Холдейна41 и Фишера51. Последние 15 лет наблюдалось широкое
распространение математических методов в биологических науках, однако их
положительная роль признана далеко не всеми. Эта книга является введением
в некоторые современные проблемы математической биологии. Мой подход
является в основном практическим. Я глубоко убежден, что составной частью
любого теоретического исследования должна быть его связь с экспериментом
и наблюдением, проявляющаяся как в предсказующей роли этого исследования,
так и в его корреляции с существующими экспериментальными данными и
фактами.
Биологические науки по сравнению с физическими, конечно, намного сложнее
и с точки зрения формализма намного менее развиты. Хотя математика и
модели могут быть исключительно полезны для биологических наук и во
многих случаях сделали важный вклад в развитие этих наук, их применение
ограниченно и не является панацеей, как иногда считают. Если
окончательная цель заключается в том, чтобы внести вклад в биологическое
исследование, то
11 Leonardo Pisano (Fibonacci), 1202, Liber abaci.
21 Giovanni Borelli, 1680, De motu animalium, vol. 1, Bemabo, Rome. 31
D'Arcy Wentworth Thompson, 1917, On growth and form, Cambridge University
Press, Cambridge.
41 J. B. S. Haldane, 1924, A mathematical theory of natural and
artificial selection, Cambridge University Press, Cambridge.
51 R. A. Fischer, 1930, The genetical theory of natural selection,
Clarendon Press, Oxford; 1949, The theory of inbreeding, Oliver and Boyd,
Edinburgh.
8
Предисловие
я убежден, что для математика, физика, инженера и т.д. абсолютно
необходимо самому заняться биологией, прежде чем пытаться сконструировать
модель или теорию. За очень небольшим числом исключений, увлеченность
строгими или абстрактными теориями или анализом гипотетических моделей,
