Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(19) и некоторых ее обобщений (в том числе с непрерывным запаздыванием)
исследована зависимость динамики иммунного процесса от начальных данных и
значений параметров, характеризующих иммунную систему и Аг. Показано, что
одним из наиболее важных параметров, определяющих режим реакции, является
продолжительность запаздывания hr в производстве Ат. При малом hr
возможно стационарное сосуществование Аг и специфических Ат, увеличение
же hr приводит к потере устойчивости стационарного состояния и к
возникновению автоколебаний. Дальнейшее увеличение hr ведет к
неограниченному размножению Аг, т.е. к гибели организма. Один из основных
результатов работ [74-78] заключается в том, что изменение
продолжительности запаздываний может служить эффективным методом
управления иммунными процессами. При малом hr велика вероятность
инфекционного заболевания, тогда как незначительное увеличение hr может
привести к существенному уменьшению этой вероятности. Чем больше hr, тем
резче различия в ходе инфекционного процесса в зависимости от дозы Аг.
В работе [79] рассмотрена модель, несколько отличная от (19) и приводящая
к системе двух дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, для
которой методами теории бифуркаций доказано, что при изменении параметров
системы одно из состояний равновесия может породить устойчивый предельный
цикл; получены формулы для амплитуды и периода в зависимости от величины
запаздывания.
Различные модели с запаздыванием, эффективно описывающие не только
иммунный ответ организма, но и динамику заболевания в целом, разработаны
Г. И. Марчуком и его сотрудниками [80-83] и подробно описаны в монографии
[80]. Приведем в качестве примера одну из моделей:
V = (Р - yF)V, С = C(m)"F(t - h) V(t - h) - цс(С - С*),
F = рС - 10 цуF V- pfF, (20)
m' = &V- PmWI,
где V-количество Аг в организме, С-количество плазматических клеток,
производящих антитела F, т - относительная характеристика поврежденной
части организма. Модель (20) и ее модификации детально исследованы
качественно и численно, получены условия существования нетривиальных
положительных стационарных решений. Особое внимание уделено биологической
интерпретации полученных результатов и практическим выводам из них,
особенно по хронической и острой форме заболевания. Эта область
исследований активно развивается.
Литература
391
ЛИТЕРАТУРА
11 Смит Дж. М. Модели в экологии,-М.: Мир, 1976, 184 с.
2] Brauer F. Some applications of the theory of ordinary differential
equations to population growth problems-Ann. Acad. Brasil. Cienc, 1976,
48, N 3, p. 369-385.
[3] MacDonald N. Time lags in biological models-In: Lect. Notes Biomath.:
Springer, 1978.-112 p.
[4] Hadeler K.P. Delay equations in biology.-In: Lect. Notes Math.:
Springer, 1979, 730, p. 136-156.
[5] Hutchinson G.E. Circular causual systems in ecology.-Ann. N.Y. Acad.
Sci, 1948, 50, p. 221-246.
[6] May R. M. Stability and complexity in model ecosystems.-Princeton:
Princeton Univ. Press, 1973.
Stirzacker D. On a population model.- Math. Biosci, 1975, 23, p. 329-336.
СмитДж.М. Математические идеи в биологии.-М.: Мир, 1970, 180 с. May R. М,
Conway G. R, Hassell М. Р, Southwood Т. R. Е. Time delays, density
dependence, and single oscillations-J. Amm. Ecol, 1974, 43, p. 747-770.
10] Колесов Ю.С, Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием-
Випьнюс: Мокслас, 1979, 146 с.
11] Колесов Ю.С. Резонансы в экологии,- Д^кн.: Исследования по
устойчивости и теории колебаний-Ярославль: Изд. Яросл. гос. ун-та, 1978,
с. 26-42.
12] Колесов. Ю.С Асимптотика периодического решения уравнения Хачинсо-
на.-В кн.: Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной
генетике,-Пущино: Изд. биол. центра, 1980, с. 47-54.
13] Колесов Ю.С. Математические модели экологии.-В кн.: Исследования по
устойчивости и теории колебаний,-Ярославль: Изд. Яросл. гос. ун-та, 1979,
с. 3-40.
14] Hadeler К. P. On the stability of the stationary state of a
population growth equation with time-lag-J. Math. Biol, 1976, 3, N 1, p.
197-201.
15] Швитра Д.И. Исследование уравнения Хатчинсона.-В кн.:
Дифференциальные уравнения и их применение, № 20-Вильнюс: Мокслас, 1978,
с. 25-32.
16] Колесов Ю.С. Сложность и устойчивость биологических сообществ,-В кн.:
Проблемы биосферы. Информационные материалы, вып. 2.-М.: ВИНИТИ, 1981, с.
80-91.
17] Колесов Ю.С. Некоторые задачи математической экологии.-В кн.:
Дифференциальные уравнения и их применение, № 29-Вильнюс: Мокслас, 1981,
с. 27-35.
18] Хидиров А. Свойства одной числовой характеристики обобщенного
уравнения Хатчинсона.-В кн.: Дифференциальные уравнения и их применение,
№ 29.-Вильнюс: Мокслас, 1981, с. 130-134.
19] Швитра Д. И. О некоторых особенностях поведения решений обобщенного
уравнения Хатчинсона-В кн.: Дифференциальные уравнения и их применение, №
29-Вильнюс: Мокслас, 1981, с. 136-146.
20] Braddock R. D, Driessche P. van den. A population model with time
