Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений, мы можем получить оценки волновой скорости с через параметры г
и Ь. В дальнейшем следует помнить, что 0 / < 1 и 0 ^
< 9 < 1.
Интегрирование (A5.ll) от - оо до оо с помощью (А4.13) дает
с = I Л1 - f- r9)dz' (А5.14)
- сю
а интегрируя (А5.12), получаем
OG
с = | bfgdz. (А5.15)
- со
Из последних двух уравнений получаем еще одно выражение для с:
с = ~- ] /(1 - f)dz. (А5.16)
Ь + г _да
Когда z -> - оо (A5.ll) и (А5.12) в силу (А5.13) при линеаризации
асимптотически сводятся к уравнениям
/" - cf + (1 - r)f = 0, д" - eg' - bf= О,
решения которых имеют колебательный характер, если г < 1 и нарушено
условие
с2 >4(1 -г). (А5.17)
Когда г ^ 1, асимптотические колебательные решения невозможны. Условие
(А5.17) необходимо для выполнения неравенства / > 0, априори
естественного требования. Таким образом, (А5.17) дает нижнюю оценку
волновой скорости.
Теперь мы получим более общие оценки с через г и Ь. Умножая уравнение
(A5.ll) на / и интегрируя, получаем
СО , СО
1 = | f dz = - - + | /2( 1 -/- rg)dz, (А5.18)
- СЮ ^ - ОС'
где для удобства введено обозначение I. Умножая (A5.ll) на /' и
интегрируя, получаем
1 г 00
/ = --f fgf'dz. (А5.19)
6с с _да
Поскольку 0 ^/<1, 0 < g < 1, применение неравенства Шварца к по-
24-612
370
Приложение 5
следнему интегралу дает
j fgf'dz <
- оо
= I112
$ f dz 1 f2g2dz
-00 - 00
1/2
1/2
S f2g2dz
< i1'2
J fgdz
1/2
= J1/2
1/2
при этом использовано (A5.15). Подставляя это неравенство в формулу
(А5.19), получаем
1
' > ir - т(т) lU2 - 1 + 71/2
6 с с \ b
откуда следует, что
1/2
1
(сЬ)1
6 С
I + J-
2(с6)1/2 2
сЬ Зс
1/2
I >
4 сЬ
. (А5.20)
Поскольку 0 < /, д < 1, из (А5.18) и (А5.16) выводим
/ = - - + J /2(1 -f)dz - г | f2gdz <
" /-Л - m
< - ОТ + 1/(1 ~/)^
с Ь + г Т- + С Ь
Таким образом, I < (с/2Ь) (Ь + 2г), что вместе с (А5.20) дает оценку
снизу; объединив ее с оценкой с < 2 из разд. 5.5, получаем границы
г2 +
1/2
2 (Ь + 2 г)
(А5.21)
указанные в (5.63). Оценка (А5.21) при b -" 0 или г -> оо переходит в 'с2
^ 0, в то время как при b -> оо или г -* О-в с2 ^ 1/3. Истинное значение
с в этом последнем пределе равно 2, что показано в разд. 5.5 и следует из
(А5.17). Таким образом, в зависимости от диапазона b оценка (А5.17) может
оказаться при 0 < г < 1 лучше, чем (А5.21).
Приложение 5
371
А5.3. Общие результаты для оператора Лапласа в ограниченных областях
При выводе уравнения (5.103) мы использовали то, что для функции и (х),
удовлетворяющей условиям их = 0 при х = 0, 1, выполняется соотношение
i 1
j ulxdx ^ it2 J u2dx. (A5.22)
о о
Позже, при выводе (5.108), мы использовали более общий результат
J\V2u\2dr>X J ||Vu12dr, (А5.23)
В дВ
где В-конечная область, ограниченная простой связной поверхностью
дБ, на которой задан нулевой поток (условия Неймана), а
именно
п-Vu = 0, где п единичная внешняя нормаль к дВ. В (А5.23) X- наименьшее
положительное собственное значение выражения V2 + X в области В с
условиями Неймана на дВ, а || • || обозначает евклидову норму. В
настоящем разделе мы докажем эти результаты; (А5.22), конечно,
представляет собой частный случай (А5.23), если г-единственная
пространственная переменная.
Для большей простоты и наглядности сначала выведем одномерную оценку
(А5.22), а затем докажем общий результат (А5.23).
Рассмотрим уравнение для скалярной функции w (х) одной пространственной
переменной
wxx + A,w = 0, (А5.24)
где X- собственное значение для решений этого уравнения, удовлетворяющих
условиям Неймана на границе
wx(x) = 0, х = 0, 1. (А5.25)
Собственные функции {<pk (х)} и собственные значения {Хк}, к = 0, 1, 2,
..., задачи (А5.24), (А5.25) имеют вид
cpt(x) = cos\/xkx, Хк = к2п2, к = 0, 1, .... (А5.26)
1
Любую функцию и (х), для которой j и2у dx < оо, удовлетворяющую
о
условиям (А5.25), можно разложить по собственным функциям:
оо оо
м(х)= ? акср*(х)= ? akcosknx, (А5.27)
к = О к = О
причем это разложение можно почленно дифференцировать два раза.
24*
372
Приложение 5
Отсюда получаем
00 со
их(х)= - ? akknsin kizx = - ? akkitsin fctoc,
* = о к = i
oo
uxx (x) = - X ak (kn)2 cos knx
к = 1
Возводя каждое из этих равенств в квадрат, а затем интегрируя от 0 до 1 и
пользуясь попарной ортогональностью собственных функций,
получаем
1 1 00 00 1
ju*dx = J( Yj ак^п sin knx)2 dx = ? j (akkn sin knx}2 dx -
0 0 fc = 1 *=10
oo 1 _2 oo
= X akk2n2 J sin2 knxdx = -- X ^4'
k = 1 о z k = 1
аналогично
1 it4 00
\uLdx = - X *4-
о Z k = 1
Однако
я4 (r) я2 00 я2 00
X *Ч2 = я2-^- X fc42 > я2~ X *Ч2,
Z k = 1 Z k = 1 Z k = 1
откуда и следует (А5.22).
Аналогично доказывается общий результат (А5.23). Пусть (фк(г)}, к = 0, 1,
2, последовательность ортогональных собственных функций уравнения
. v2w + >ov = О (А5.28)
при граничных условиях
(n-Vw) \дв = 0. (А5.29)
Пусть соответствующие собственные значения упорядочены так, что
О = л0 < >-! ^ л2 ___ Заметим, что в общем случае ф0 =
const.
Пусть и (г)-функция, определенная в области В и удовлетворяющая условиям
