Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 141

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 154 >> Следующая

представляет сдвиг по фазе, отражая тот факт, что мы можем отсчитывать t
от любого момента.
Заметим, что существование предельных циклов вблизи точки бифуркации v -
0 требует, чтобы v > 0. Это, конечно, согласуется с результатом,
сформулированным в начале этого примера для уравнения (А4.43),
представляющего исходную систему (А4.42). Уравнение (А4.43) играет
фундаментальную роль в теории колебаний и известно под названием
уравнения Ван дер Поля. Оно обладает решениями типа предельного цикла для
v > 0, и, как видно из (А4.57), амплитуда колебаний зависит от параметра
v. Это уравнение очень подробно обсуждается в книге Минорского (1974)1).
Последний вопрос-об устойчивости. Для системы (А4.42) точка равновесия в
начале координат характеризуется линеаризованной формой
"хГ х2
_*2_ - Xi + vx2_
dx2 dx i
- Xi + vx2 x2
что в точности совпадает с формой, обсуждавшейся в примере 1, (А4.38), за
исключением того, что теперь обязательно v > 0. Как мы видели,
11 См. также, например, книги А. А. Андронова, А. А. Витта, С.Э. Хайкина
(1959)*, С. Лефшеца (1961)*, Дж. Стокера (1953)-Прим. ред.
Приложение 4
363
в этом случае особая точка представляет собой неустойчивый фокус, если 0
< v < 2. Поэтому предельный цикл (А4.57), существующий по крайней мере
для малых v > 0, устойчив.
Пример 3. Рассмотрим теперь систему
х = Г/1 = Г 2 1 31 = F (х, г). (А4.58)
[x2j L~xi~ "*2 + 3X2] --
Как и в примере 2, мы можем записать ее в виде одного уравнения
х2 + (v - х2)х2 + х2 = 0. (А4.59)
Если мы заменим 1 на - t, уравнение примет вид
х2 + (х2 - v)x2 + х2 = 0, (А4.60)
т.е. превращается в уравнение Ван дер Поля (А4.43), частный случай
уравнения Льенара (А4.22); следовательно, уравнение (А4.60) имеет
единственный предельный цикл для каждого v > 0. Этот предельный цикл
устойчив при t -* 00, откуда следует, что (А4.59) имеет предельный цикл
только при обратном ходе времени (г -" - оо). Это означает, что уравнение
(А4.59) не может иметь устойчивого предельного цикла, когда t -> 00.
Рассмотрим теперь результаты, полученные из теоремы бифуркации. Применяя
к (А4.58) анализ, аналогичный примеру 2, получаем
А (г) = К") =
' 0 ¦ ' 0 1"
-1 - V , A(0) = - 1 0 0^ II Я
'0 0' - 1 "1 0"
О -1_ i В = 2 _° 1 > SpB(0)#0;
Y (5) и Y 1 (s) даны, как и ранее, формулами (А4.50), а
Г 0
(А4.62)
Теперь с учетом (А4.62) можем записать уравнение, аналогичное (А4.52):
0
2п [с' (0) А (0) b + d' (0) Bb] + f Y"1 (z)
1
L~3
У2 (z, 0)
dz = 0.
364
Приложение 4
Поскольку
1
2п
dz
1 1 "2яТ
- sm z cos z
(b2cosz - bjsinz)3^ =
IIb 2b,
мы получаем d( 0)
'oil, 1 ,
-i oJ--T
(0)
1 0 0 1
b = - - ||b||2b,
и, следовательно,
c'(0) = 0, d' (0) = - || b 12 b.
(A4.63)
Это в точности совпадает с (А4.53). Остальная часть анализа полностью
аналогична примеру 2, и результатом является (А4.57). Как и ранее,
бифуркационным значением является v = 0, а периодические решения
существуют при v > 0. Возникает вопрос, какое отношение имеет этот
результат к анализу уравнения Льенара, полученному из (А4.59).
В рассматриваемом случае в окрестности особой точки х = 0 (А4.58)
линеаризация дает .
Xj = х2, х2 = - х} - vx2, v > 0, (А4.64)
и в фазовой плоскости
dx2 - Xi - vx2 dx i x2
а для этого уравнения особая точка при 0 < v < 2 является устойчивым
фокусом. Это сразу очевидно из решения системы (А4.64), которое имеет вид
Х2 = е
- vt/2
v2 Y^2 ( V2 ^
A cos [ 1---------- I t + В sin ( 1----------------
х, = - х2 - vx2,
поскольку х1 и х2 стремятся к нулю колебательным образом при t -<¦ -* оо
и малых v > 0. Таким образом, начало координат является устойчивой точкой
равновесия системы (А4.58).
Приложение 4
365
Итак, хотя теорема о бифуркации указывает на существование предельного
цикла у (А4.58) для каждого достаточно малого v > О в окрестности точки
бифуркации, он не является устойчивым, и отличные от него решения
стягиваются в единственную точку равновесия в начале координат либо
уходят на бесконечность. Это случай, противоположный ситуации примера 2,
где точка равновесия была неустойчивым фокусом для 0 < v < 2 и оставалась
неустойчивой для всех v > 0..
Для рассмотренного здесь примера 3 с помощью теоремы Пуанкаре-Бендиксона
можно вывести, что при v > 0 не может быть решений типа устойчивого
предельного цикла, поскольку точка равновесия устойчива.
В общем теорема о бифуркации является очень мощным средством выяснения
существования периодических решений и (в окрестности точек бифуркации)
вычисления их периодов Однако она не дает никакой информации об их
устойчивости, которая, конечно, столь же важна, как и существование.
Главное применение этой теоремы состоит в исследовании систем размерности
выше 2 Для двумерных систем обычно более эффективны методы фазовой
плоскости (см., например, книги Ми-норского (1974) или Сансоне и Конти
(1964)).
ЛИТЕРАТУРА
Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э.
(1959)* Теория колебаний, изд. 2-М.: Физматгиз.
Лефшец С.
(1961)* Геометрическая теория дифференциальных уравнений,-М.: Физматгиз.
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed