Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 139

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 154 >> Следующая

по му, где у2 включено в Q, мы видим, что Q(y, v, 0)-квадратичная "форма
компонент у. Далее, так как y(s, 0) = = Y(s)b (см. (А4.22)), то Q (у (х,
/), г, 0) - квадратичная форма компонент Y(s) и "потому, как следует"из
(А4.17), представляет собой линейную комбинацию членов cos" ws sin2-" ws
с n = 0, 1, 2. Значит,
Y-1 (z)Q(y(z, 0), 0,0) в силу (А4.18)-линейная комбинация членов вида
cos" wz sin2-"wz с п = 0, 1, 2, 3. Поэтому т
|° Y -1 (z) 2 (у (z, 0), 0, 0) dz = 0. (А4.25)
Полагая теперь в (А4.24) и = с = d = 0, мы видим, что это уравнение
удовлетворяется.
Теперь надо доказать, что якобиан левой части уравнения (А4.24) по с, d
при и = с = d = 0 отличен от нуля. Для этого примем обозначение
т
I = То 1 J Y-1 (z) В (0) Y (z) dz. (А4.26)
о
Кроме того, заметим, что в силу (А4.17), (А4.18) и равенства А2(0) = = -
w2I
т
J Y-1 (г) А (0) Y (z) dz = Т0 А (0). (А4.27)
о
Аналогично из (А4.26) после интегрирования в правой части находим
I = у j? (0) - А (0) В (0) А (0)|. (А4.28)
Чтобы получить нужный нам якобиан, продифференцируем сначала левую часть
(А4.24) по d, а затем положим с = d = и = 0. Единственный член в
подынтегральной функции остается от B(ud(u))y, т.е. мы получим
J Y-1 (z) В (0) у (z, 0) dz, (А4.29)
О -
что в силу равенства y(z, 0) = Y(z)b (см. (А4.22)) и определения (А4.26)
для В равно
T0Bb. (А4.30)
Аналогично, дифференцируя левую часть (А4.24) по с и полагая с = d = = и
= 0, получаем, что единственный оставшийся член равен
J Y-1 (z)A(0)y(z, 0)^z, (А4.31)
23* О
356
Приложение 4
что равно
ToA(0) b. (А4.32)
Таким образом, чтобы завершить применение теоремы о неявной функции,
остается показать, что определитель матрицы [ВЬ, А(0)Ь] для всех
ненулевых Ь отличен от нуля 1). Это упомянутое выше условие отличия
якобиана от нуля.
Сначала приведем А(0) к диагональному виду, используя неособое
преобразование Р матрицы А(0) к главным осям:
p-i А(0)Р = iw\ 1 °
О -1
Из (А4.30) и последнего соотношения имеем
1
(А4.33)
2Р-*ВР = Р_1В(0)Р -= Г'В(0)Р +
2 Р_1А(0)В (0)А(0)Р =
1 0 0 - 1
Р 'В(0)Р
1 0 0 - 1
Записав
Р-'В(0)Р = получим

а (3 '1 0" a Р "1 0' a -Р"
у 5 О -1 у S ° - 1 - у 5
a 0
Р 1ВР =
- 0 5
(А4.34)
Поскольку матрица Р неособая, достаточно показать, что
detP-1 [ВЬ, А(0)Ь] отличен от нуля. Для удобства определим
к =
р-'ь,
Р"' [ВЬ,А(0)Ь] = [Р-'ВЬ,?-1 А(0)Ь] =
тогда
aki /wki
Ьк2 - iwk2_
Определитель этой матрицы равен - iwkt к2 (a + 5), т. е. - iwkl к2 Sp В.
Поскольку Sp В = Sp В Ф 0, как это сразу следует из (А4.28), мы должны
показать, что к1 Ф 0 и к2 Ф 0.
Запишем
ь = *ь"" , Р = Ру2~ , А (0) = "Ли ЛХ2
_Ь2_ _ ^21 ^22 _ _ ^21 а22 _
Здесь мы просто используем теорему о неявной функции для системы F(x,y,z)
= 0, G(x,y,z) = 0. Чтобы эта система уравнений имела решение х = = x(z),
у - y(z), для которого x(z0) = х0, y(z0) = у0, достаточно, чтобы в точке
(х0, у0, г0) был отличен от нуля якобиан:
d(F, G) л -¦¦¦¦ ф 0.
3(х, у)
Приложение 4
357
и предположим, что к2 = 0, ку ф 0. Тогда, поскольку b = Рк,
by - Рцку, b2 = Р21ку. (А4.35)
Так как из (А4.33) следует
А(0)Р = i'wP
1 °1. 0 -1_|'
имеем
^ир11 + AnP2i = 'M'Pn, (А4.36)
A2tpn + А22Р21 = ЬюРц- (А4.37)
Умножая (А4.36) на ку и используя (А4.35), получаем
Ayyby + Al2b2 = iwbv
Так как А(0) и b действительны, из последнего уравнения следует, что by =
0; поэтому из (А4.35) вытекает, что Ри = 0, а из (А4.37)-чт'о А22 = iw, а
это приводит к противоречию, так как А(0) действительно. Итак, к2 Ф 0.
Аналогично предположение, что /с, = 0, к2 Ф 0, дает by - Ру2к2, Ь2 =
Р22к2,
А11Р12 + ^12-^22 = IwPy 2,
^21^*12 + ^22^22 = -ЬмР 22-В результате тех же рассуждений, что и выше,
получаем by = 0, Р12 = = 0, Р22 ф 0 и, следовательно, Л22 = - iw, что
вновь приводит нас к противоречию. _
Таким образом, det[Bb, A(0)b] ф 0, и, следовательно, с (и) и d (и)
существуют по крайней мере для всех и из 0 < и < и0 при некотором
достаточно малом и0, и требования (i) и (ii) выполняются.
Из предыдущего анализа мы видели также, что выполняются условия (iii) и
(iv). С помощью преобразований (А4.8) и (A4.ll) мы показали, что (v)
верно.
Если и мало, v также мало, и, следовательно, период Т (м) ~ Т0 = = 2я/w,
где частота w равна мнимой части собственных значений матрицы А(0). Тем
самым теорема доказана.
Рассмотрим теперь три примера, иллюстрирующих некоторые практические
аспекты теоремы о бифуркации. Для простоты рассмотрим только двумерные
примеры.
358
Приложение 4
Пример 1. Рассмотрим сначала простой линейный случай (А4.1)
= F(х, v), (А4.38)
X - х2
>2. Xi + vx2_
где v-вещественный параметр. Здесь имеется единственная точка равновесия
Xj = х2 = 0.
(А4.39)
В этом простом примере мы можем найти точное решение уравнения (А4.38), и
нам, таким образом, не нужно опираться на теорему. Из (А4.38) находим
одно уравнение для xt:
x'i - i>Xi + х, = 0,
откуда получаем решение
х2 = Xj,
Cj = ev<!2
A cos I 1 -
2 \ 1/2
t + В sin ( 1 -
v
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed