Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
dx
-^=F(x, и) (А4.2)
есть автономная двумерная система действительных дифференциальных
уравнений для каждого значения параметра ve (- v0, г0), где v0-
положительное число, а вектор-функция FeC2(?>(- v0, v0)), где D- область
в R2. Предположим, что система (А4.2) для каждого v имеет особую точку,
т.е.
F(x, v) = 0 =" х = а(г). (А4.3)
Пусть А (г)-матрица системы (А4.2), линеаризованная относительно особой
точки а (г), т.е.
А(г) = [VxF(x, и)]х = а(" • (А4.4)
Предположим, что матрица А (0) имеет чисто мнимые собственные зна-
u Предполагается знание алгебры матриц.
352
Приложение 4
чения + iw, w ф 0, т. е.
SpA(O) = О, det А(О) > О. (А4.5)
Тогда если матрица В (г), определенная уравнением
А (г) = А(0) + гВ (у), (А4.6)
такова, что
SpB(0)^0, (А4.7)
то для любого v, достаточно близкого к с = 0, в некоторой окрестности
точки х = а(0) существует периодическое решение системы (А4.2) с периодом
Т х 2n/w.
Доказательство. Доказательство основано на построении (при выполнении
условий теоремы) для любого вектора b функций с(и), d(u), y(s, и), v(u) =
ud(u), Т(и)= Т0( 1 4- мс(м)) и
х (и, t) = а (V (и)) + му (Т0t/T(и), и), (А4.8)
для которых
(i) с(0) = d(0) = 0; (А4.9)
(ii) с (и) и d (и) принадлежат С1 [0, и0) для некоторого достаточно
малого и0;
(iii) у(0,н) = b; (А4.10)
(iv) у (s, и) имеет по переменной s период Т0;
(v) х (и, t) является решением уравнения
dx
= F (х, и (м))
с периодом Т (и); этот период меняется с v.
Следует отметить, что в силу соотношения v = ud (и) для одного значения v
можно получить несколько периодических решений, отвечающих различным
значениям и. Мы вернемся к этому в двух последующих примерах.
Введем новые переменные
s = T0t/T(u), v = ud (и), (A4.ll)
Т(и) =Т0( 1 + ис(и));
тогда у (s, и) будет определена с помощью (А4.8). Если х (и, t)
периодична по г с периодом Т(и), то y(s, и)-периодическая
функция s с периодом
Приложение 4
353
Т0. Кроме того, из (А4.8) и (А4.10) имеем
х(м, 0) = а(у) + ub. (А4.12)
Подстановка (А4.8) и (A4.ll) в (А4.2) дает
и 4~ У (*. и) = F (а (г) + ну, г), (А4.13)
ds Iq
так как ds/dt = Т0/Т(и). Определим теперь вектор-функцию Q (у, v, и)
соотношением
F (а (г;) + му, v) = и А (и) у + m2Q (у, и, u); (А4.14)
тогда (А4.13) можно записать в форме
-^ = A(0)y + uG(y,u), (А4.15)
ds - - - -
где, как это следует из (А4.6) и (A4.ll),
G(y, и) = d(u)B(ud(u))y 4- c(u)A(ud(u))y +
+ (1 + uc(u))Q(y, ud(u), и). (A4.16)
Обозначим матричное решение задачи d4_ids = А(0)Y, Y(0) = I (I-единичная
матрица) через Y(s). Тогда
Y (s) = cos wsl + -sin wsA (0). (A4.17)
w
Напомним, что собственные значения А(0) равны + iw (см. (А4.5)), и потому
А2 (0) = - w2I, откуда легко проверить, что
Y_1 (s) = cos wsl -sin wsA (0); (A4.18)
w
кроме того,
dy- 1 |Y)
~ -Y_1(s)A(0). (A4.19)
ds
Тогда, используя последнее уравнение и (А4.15), получаем
~ [Y_1 (s)y(s, u)] = Y-1 _ Y_1 A(0)y = hY"1 (s)G(y, u).
(A4.20)
Интегрируя (A4.20), получим
S
Y-1 (s)y(s, и) = и J Y-1 (z)G(z)dz + const. (A4.21)
" о
23-612
354
Приложение 4
Так как, согласно (А4.8) и (А4.12),
му (0, и) = х (и, 0) - a (v (и)) = мЬ,
то (поскольку Y(0) = I) постоянная интегрирования в (А4.21) равна Ь;
таким образом,
5
у (5, м) = Y(s)b + mY(s)JY~' (z) G (z)dz. (А4.22)
_ о
Однако G выражается через у формулой (А4.16); поэтому (А4.22)-это
интегральное уравнение относительно у.
Нам надо теперь определить неизвестные и, с (и) и d (и) так, чтобы у
имело период Т0 по 5 согласно пункту (iv). Это должно выполняться для
всех и. На данной стадии мы еще не знаем, что представляют собой функции
с и d-это сейчас просто неизвестные, подлежащие определению. Полагая и =
0 в (А4.22), получаем при s = Т0, пользуясь ^-периодичностью функции у,
у(Го,0) = Х(Го)Ь = у(0,0) = Ь.
Так как b произвольно, из последнего уравнения следует
Y(T0) = I г" coswT0 1 + - sinwT0 A(0) = I,
- w
ПОЭТОМу1> T0 - 2it/w. (A4.23)
Теперь, так как у (s, м)-периодическая функция с периодом Т0 для всех и,
то у (Т0, и) = Ь, и, полагая в (А4.22) s = Т0, получаем
т
/ Y ~1(z)G(z)dz = 0, о
что в силу выражения (А4.16) для G дает %
J Y"1 (z) [с (и) A (ud) у + d (и) В (ud) у + о
+ (1 + ис (м)) Q (у, ud, м)] dz = 0. (А4.24)
Это векторное уравнение равносильно системе из двух скалярных уравнений с
тремя* переменными м, с и d. Мы завершим доказательство, если сможем
показать, что соотношение (А4.24) определяет end как непрерывно
дифференцируемые функции и для всех достаточно малых
Значения, кр.атные приведенному, интереса не представляют, так как
периодическому решению всегда можно приписать кратный период. Значение
(А4.23)-наименьший период решений-Прим. ред.
Приложение 4
355
ОО, причем с (0) = d (0) = 0. Мы сделаем это, используя теорему о неявной
функции. Покажем сначала, что уравнение (А4.24) удовлетворяется при и =
0, с(0) = d(0) = 0, а затем, что соответствующий якобиан отличен от нуля
и, следовательно, с и d могут быть определены.
Поскольку для малых и (А4.14) по существу представляет собой ряд Тейлора
