Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 123

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 154 >> Следующая

Рис. А1.1. Стрелками показан пограничный слой толщины 0(e).
= 1, как на рис. А1.1,б; это легко увидеть, проведя анализ, аналогичный
случаю е X 0, но теперь с xt 1.
Допустим теперь, что мы рассматриваем (А 1.7) для малых е и пытаемся
вывести асимптотическое решение и (х; е) другим методом, не используя
точного решения. Именно с этим мы сталкиваемся в задачах, где точное
решение трудно получить аналитически в удобной форме или нельзя получить
вообще. Сингулярно возмущенные задачи представляют также значительные
вычислительные трудности, и предварительный анализ методами теории
сингулярного возмущения часто является необходимой предпосылкой для
написания подходящей вычислительной программы.
Поскольку е мало, предположим, что мы наивно ищем регулярно возмущенное
решение в форме (А1.5):
и(х;е) ~ и0(х) + ей, (х) + ..., е -> 0. (А1.16)
Приложение 1
307
Подставляя его в (А1.7) и приравнивая последовательно коэффициенты при
е", п = 0, 1, 2,..., получаем
и'о = 0, и'о + и\ = 0,... => и\ = 0, = 0,
т.е. уравнения, решениями которых служат постоянные и" = а", п ^ 0. Тогда
и решение (А 1.16)-просто постоянная
и(х;е) ~ а0 + еах + ..., (А1.17)
которая, конечно, не может удовлетворить обоим граничным условиям (А1.9).
Таким образом, решение в форме (А1.16) не является равномерно пригодным
асимптотическим решением при малых ? для всех х в области 0 < х < 1. Мы
можем, однако, заставить (А 1.17) удовлетворять одному из граничных
условий (А1.9), выбрав а" #, =0 и а0 = и0 или а0 = и1. Поскольку одно
граничное условие выполняется, можно ожидать, что это приближенное
решение справедливо с точностью до 0(1) в некоторой области значений х из
интервала 0 < х < 1.
Существенное предположение в (А1.16) состоит в том, что u"so(х) и их
первые две производные являются непрерывными функциями при 0 < х < 1. Как
мы видели выше, такое предположение не дает асимптотического решения,
пригодного равномерно. Это решение может удовлетворять только одному
граничному условию. Поэтому целесообразно ввести преобразование
переменной х, зависящее от ? таким образом, чтобы можно было в области х,
где указанное выше решение (А1.16) неприменимо, т.е. вблизи той или
другой границы, ввести поправку порядка 0(1) и за счет этого
удовлетворить второму граничному условию. Заметим, кстати, что поскольку
задача линейна по и, то преобразование и не помогло бы, так что это
должно быть именно преобразование х.
Предположим сначала, что мы выберем регулярно возмущенное решение
(А1.17), чтобы удовлетворить граничному условию при х = 1, т.е. выберем
а0 = их, а">х = 0. Тогда, поскольку решение и(х; к) ~ и, не удовлетворяет
граничному условию при х = 0, преобразуем х, написав
\
где а > 0 подлежит определению. При а > 0 это преобразование растягивает
окрестность х = 0, так как Е, для любого положительного х велико в силу
малости е; для как угодно малого х > 0- при е( 0 Е, -> оо. Уравнение
(А1.7), если записать м(х;е) = й (Е,; е), принимает вид
е1~2аи# + ?~*и^ - 0=з>е' = 0.
Если ос = 1, то уравнение перестает быть сингулярно возмущенным. В этом
случае оно принимает особенно простой вид: е в преобразованном уравнении
отсутствует (это исключение). Решение удовлетворяет этому уравнению в
непосредственной близости х = 0, что соответствует
20"
308
Приложение 1
всей ^-области 0 ^ Е, < оо, так как для х = 0 имеем Е, = 0, а для х > 0,
как угодно малого, ?, = х/е -> со при ? 10. Это уравнение совпадает с
исходным, но граничные условия будут другими. Теперь нам нужно решение
последнего уравнения с а = 1, которое должно удовлетворять граничному
условию й(0;е) = н(0; г) = и0 и которое должно переходить в и(х;е) = и,,
когда мы покидаем окрестность х - 0, что, как мы видели выше,
эквивалентно Е, -> оо. Такое решение при е > 0 имеет вид
й(Е,;е) = + (и0 -
В терминах исходной переменной х это дает асимптотическое решение,
равномерно пригодное для всех 0 < х < 1:
м(х;е) ~ ut + (и0 - щ)е~х1г, е(,0. (А1.18)
Это решение, показанное на рис. А 1.1, а, является в точности
асимптотической формой (А 1.14), полученной из точного решения при е].0.
Предположим теперь, что (А1.17) удовлетворяет граничному условию при х =
0, а не при х = 1 (это означает, что мы выбрали а0 = м0, а"г1 = 0). В
этом случае регулярно возмущенное решение (А1.17) не является равномерно
пригодным при х = 1. Следуя описанной выше процедуре, мы попытаемся
получить решение типа погранслоя вблизи х = 1, которое соединит решение и
= и0 с граничным значением п(1; е) = = и,. Для этого, учитывая предыдущий
опыт, введем новую независимую переменную г) = (1 - х)/е, в результате
чего (А 1.7) примет вид
"пп - "п = °>
где м(х;е) = й (г); е). В этом случае нам требуется решение м(л;е),
удовлетворяющее м(0;е) = и1 (здесь х = 1 соответствует г| = 0) и
стремящееся к решению и = и0, когда мы покидаем непосредственную
окрестность х = 1, т.е. при г| -> °о. Здесь, однако, нет такого решения
последнего уравнения, поэтому при е|0 не может быть пограничного слоя
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed