Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
действительной переменной.
Начнем с символов порядка О и о. Пусть /(z) и g(z)~две функции
комплексной переменной (в действительном случае это, например, параметр)
z, определенные в некоторой области D. Мы говорим, что /(z) =
302
Приложение 1
= 0(g(z)) при z -" z0 в D, если существуют положительные константы К и 5,
такие, что |/| < К\д\, когда \z - z0| < 5. Мы говорим, что /(z) = о (у
(z)) при z -> z0, если для произвольного малого >. > 0 существует такое
5, что |/| < л | <71, когда | z - z0 | <5. Соотношение f{z) = - 0(д (z))
означает, что f/д ограничено при z -> z0; соотношение /(z) = = о(д (z))
означает, что f/д -* 0 при z -> О1*. Мы предполагаем здесь, что д (z) не
имеет нулей в окрестности z0, кроме, возможно, z0.
Мы говорим, что /(z) и д (z) асимптотически эквивалентны при z -> -> z0,
если lim f{z)/g(z) = 1, и пишем тогда f(g)~g{z) при z = z0.
z -* г0
Последовательность функций {/"(z)}, п = 1, 2, ..., для z в области D
является асимптотической последовательностью при z -> г0 в Д если для
всех п выполняется fn+1(z) - o(/"(z)) при z -> z0, т.е.
lim f" + i (z)//" (г) = 0. Простые примеры-это {(z - z0)"} при z-*z0, :-
"20
а также {z"(lnzf} при г-*0и при z-* 1 (и = 1, 2, ...).
Если {/"(г)}-асимптотическая последовательность, то ? a"f" (z),
0 - 1
где On -постоянные, называется асимптотическим разложением или
асимптотическим приближением функции F (z) при z -*¦ z0, если для каждого
N > 1
N
F(z)= X ajn(z) + o(/N(z)) при z -> z0; (Al.l)
rt= 1
мы записываем это в виде F(z) ~ ^ a"/"(z) при z -> z0.
и= 1
Если дана асимптотическая последовательность {/"(z)}, п = 1, 2, ..., и F
(z) имеет асимптотическое разложение по этой последовательности, то
разложение единственно. Коэффициенты получаются путем последовательного
использования предельного перехода
F(z) - X °"/"(z)
От = lim ------ ¦ 1------, т= 2,3,..., ^ = lim f,.-.
(А1.2)
г-.2" 7m(z) 2-.z07llz)
11 Соотношение /(z) = o(g(z)) можно записать и так: |/(r)| " \g(z)\.
Отметим, что на протяжении всей книги символы О и о применяются и в
соответствии с прикладной традицией. Прежде всего, логически из
соотношения a = о(Р) следует, что a = О(Р); но обычно запись a = О(Р)
означает, что величины аир одного порядка, т.е. одновременно a = О(Р) и р
= 0(a) и тем самым случай a = о(Р) исключен. Далее, символы о и О
применяются и по отношению к постоянным величинам, что с позиций
формального определения недоступно. Например, часто встречаются выражения
вида "е = 0(10 ~6)", "величина порядка 0(10)" и т.п. Здесь, конечно,
имеется в виду широко распространенное размытое понятие цорядка, не
имеющее точного определения, но весьма полезное в прикладных
математических работах и применяемое в соответствии со здравым смыслом и
правильной интуицией.-Прмм. ред.
Приложение 1
303
Первый ненулевой член в асимптотическом разложении функции называется
ведущим или доминирующим членом. Например, если а, Ф 0, мы часто просто
пишем: F(z) ~ alf1(z) при z -> z0.
Интересное свойство асимптотических разложений состоит в том, что при N -
>¦ оо в (А 1.1) они обычно расходятся. В этих случаях N при фиксированном
z существенно конечное. Однако для фиксированного N асимптотическая
аппроксимация становится все более точной при z -> z0 и, что намного
более важно с вычислительной точки зрения, разложение дает хорошее
представление F (z) с помощью небольшого числа членов. Такие разложения
используются для получения исключительно точных приближенных значений для
функций (в нашем случае решений), которые они представляют. Кроме того,
погрешность от замены точного значения на его асимптотическое приближение
обычно очень легко оценить. В книге Марри (1974) эти вопросы подробно
изложены на элементарном уровне. В ней обсуждаются также огромные
преимущества расходящихся асимптотических разложений над сходящимися. Мы
коснемся этого в дальнейшем.
Выбор области часто является для асимптотических разложений решающим.
Иллюстрацией этого служат, в частности, простые примеры, обсуждаемые в
разд. А1.2.
Обозначим теперь через е малый вещественный параметр, положительный или
отрицательный, |е|"1, и рассмотрим общую задачу
L(u, г, г;е) = О (А1.3)
с граничными условиями
В (u, г, t;e) = О, (А1.4)
где и (г, t\ е)-зависимая переменная, г и г-независимые переменные, a L и
В-операции над ними, которые могут, например, включать производные и
(или) интегралы. Если решение и (г, t;e) аналитически зависит от е при
всех е в области 0 < | е | < е0 для некоторого положительного значения е0
и г, t, лежащих в рассматриваемой области, то при достаточно малом | е |
мы можем записать решение в виде простого ряда Тейлора по е
u(r, t;e) = u0(r, t) + eu, (r, 0 + ..., ? -*• О, (A1.5)
где u0, Uj, ... могут быть определены систематически путем разложения
(А1.3) и (А1.4) также в ряды по е. Здесь u0 (г, t) = lim u(r, t; e) есть
решение задачи Е -*0
L(u0, г, t, 0) = 0, В (г, г, 0) = 0. (А1.6)
Такое решение (А1.5) представляет собой решение задачи регулярного
