Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
следствие того факта, что фермент присутствует в очень малых количествах
по сравнению с субстратом. Это - решающее биологическое условие для
гипотезы псевдостационарного состояния, которая, за исключением времен,
очень близких к т = 0, приводит к степени аппроксимации О (1). Для того
чтобы гипотеза не выполнялась, экспериментальные измерения должны
проводиться для очень малых времен порядка О (е), что соответствует
размерным временам t = О (l//c1s0), где s0, т.е. начальная концентрация
субстрата, и ки т. е. константа скорости прямой реакции в (1.1), могут
быть выражены в любой совместной системе единиц. Например, s0 может быть
в моль/см3, а к1-в см3 моль-1 с-1. Практически для всех реакций
Михаэлиса-Ментен это время порядка нескольких секунд, а большинство
экспериментальных измерений проводится на временах от нескольких минут до
часа. В замкнутой системе, где концентрация фермента и начальная
концентрация субстрата сравнимы, т.е. е = 0(1), теория Михаэлиса-Ментен
не является приемлемым приближением полной системы (1.20) -(1.22),
которую в этом случае нужно решать численно.
Первоочередной интерес с точки зрения биологии всегда представляет
скорость реакции, обычно измеряемая как производная по времени от
концентрации субстрата s(t), или (в безразмерной форме) dx/dx.
Экспериментально обычно измеряется х (х) в различные моменты времени,
намного превышающие те, для которых имеет силу внутреннее ре-
1.2. Теория Михаэлиса-Ментен
25
шение, т.е. на временах т > 0(e), а затем полученная скорость
экстраполируется назад к х = 0. Эта скорость часто ошибочно называется
начальной, и ее величина v называется скоростью реакции. Однако
измеренная таким образом скорость не является правильной начальной
скоростью, хотя, что более важно, это и есть та начальная скорость,
которую надо найти из эксперимента. Подобные измерения в свете
проведенного выше анализа, конечно, относятся к внешнему решению, и
понимаемая таким образом скорость реакции представляет собой предел
производной внешнего решения при т -* 0. Он может быть найден в
безразмерной форме из (1.25) при т = 0, откуда скорость реакции v равна
41
dx о (т) dx
+ 0(е)
= v0 + О (е) Хх0 (0)
+ О (е) =
1 + х
+ О (е), (1.40)
х0 (0) + х
где v0- приближение, соответствующее порядку точности 0(1). Это-значение
"начальной" скорости, соответствующее гипотезе псевдостационарного
состояния. Точное (но не то, которое хотят найти из эксперимента)
значение начальной скорости получается немедленно, если просто положить т
= 0 в (1.20), что дает с использованием начальных условий (1.22) |
[dx/dx]t = 01 = 1. Для фермент-субстратного комплекса точная начальная
скорость его образования равна на основании (1.21),
(1.22) [dy/dx\ = 0 = 1/е, в то время как из внешнего решения, т.е. по
теории псевдостационарного состояния, она равна с точностью до 0(1)
" dy0 (t) " " d С х0(т) Xy.
. dx т * 0 dx 1 x0 (t) + x j x = 0 (1 + X)3
Фермент-субстратный комплекс имеет весьма высокую начальную скорость
образования, а именно О (1/е), и очень быстро достигает состояния, где
его образование имеет скорость порядка 0(1), т.е. скорость,
соответствующую внешнему решению.
Обозначим скорость реакции с точностью до 0(1) в размерной форме через
V0; она получается из выражения для v0 (из (1.40)) с помощью (1.19):
К =
k2eQS0
Sn +
Vsp
sn +
(1.41)
К. =
+ к2
kt
V= Vn
= k2e 0,
26
Гл. 1. Ферментативная кинетика
где V- максимальная (при заданном е0 и s0 -> оо) скорость реакции, а Кт-
константа Михаэлиса. Отметим, что максимальная скорость реакции V= k2e0
зависит от константы скорости для реакции (1.2), т.е.
SE
Р + Е;
поэтому последняя называется скорость-лимитирующей стадиен в
последовательности реакций (1.1), (1.2). Реакция называется реакцией
Михаэлиса-Ментен, если ее скорость выражается формулой (1.41); график Ц)
(so) представляет собой равнобочную гиперболу, показанную на рис. 1.2.
Отметим, что если s0 = Кт, то V0 = V/2, т.е. половине максимальной
скорости. Для фиксированного V кривая Михаэлиса-Ментен тем более пологая,
чем больше константа Михаэлиса.
Следует подчеркнуть, что уравнение Михаэлиса-Ментен (1.41) дает скорость
реакции безотносительно к концентрации фермент-субстратного комплекса,
существование которого подвергалось сомнению некото-
Рис. 1.2. Реакции Михаэлиса - Ментен при двух различных константах
Михаэлиса К'>Кт.
рое время спустя после того, как Михаэлис и Ментен (1913) опубликовали
свою работу. Понадобилось более 30 лет, пока были получены количественные
кинетические измерения истинного фермент-субстратного комплекса для
реакции Михаэлиса-Ментен.
График скорости реакции Михаэлиса-Ментен V0(х0) на рис. 1.2 изображен для
всех значений начальной концентрации субстрата s0, в том числе вблизи s0
= 0. Однако мы видели выше, что теория Михаэлиса-Ментен верна, только
когда отношение е = e0/s0 малб. Для достаточно малых s0 получаем ? = О
(1), и скорость реакции нужно брать как точ-
