Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(Яо + . . . + Яр) (|io + • . . + Цд) = 2 hillj, Я; ? Ai, Hj ? A,-.
Заметим, что градуированная алгебра не является алгеброй, в то время как внутренне градуированная алгебра может рассматриваться просто как алгебра (без всякой градуировки). Внутренне градуированные идеалы, определенные, как и выше, обычно называются однородными идеалами; они находятся среди идеалов ассоциированной неградуированной алгебры.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать свободный градуированный К-модуль с некоторым градуированным множеством образующих.
2. Описать биградуированную тензорную алгебру биградуированного модуля и доказать аналог предложения 3.1.
§ 4. Тензорные произведения алгебр
235
3. Пусть S — множество элементов градуированной алгебры Л. Показать, что множество всех однородных сумм произведений A,sV, где s 6 S, есть градуированный идеал в Л, наименьший среди идеалов, содержащих S. Он называется идеалом, порожденным S (или натянутым на S).
4. Показать, что градуированная К-алгебра может быть описана как
грудированное кольцо R, снабженное таким гомоморфизмом I : К R
градуированных колец, что (Ik) г — г (Ik) для всех k 6 К, г ? R.
§ 4. Тензорные произведения алгебр
Тензорным произведением двух градуированных К-алгебр А и 2 является их тензорное произведение Л® 2 как градуированных модулей с гомоморфизмом умножения, определенным как последовательное выполнение отображений
, (Л®2) ® (Л®2) 1®!^ A <g) Л <gi 2 <g) 2 Л® 2, (4.1)
где т — транспозиция (2.4) (со знаком) 2 и Л, и с гомоморфизмом единицы, заданным отображением /® / : К = К®К —Л® 2. В терминах элементов умножение определяется так:
(Я <8) ст) (Я' <8) o') = ( - l)deg<,degr ЯЯ' <g) ста',
а тождественное отображение алгебры Л® 2 равно 1Л ® lz-При этом выполнены все аксиомы для градуированной алгебры. Если f: А А' и g: 2 2' — гомоморфизмы градуированных
алгебр, то и отображение f <2) g : Л ® 2 ->-Л'® 2' является гомоморфизмом. Отображения Я->Я®12, ст -*-1Л®сг определяют гомоморфизмы
Л—>Л ® 2 <—2
градуированных алгебр. Вместе с этими отображениями тензорное произведение А ® 2 характеризуется с точностью до изоморфизма следующим свойством:
Предложение 4.1. Если /: A-»-Q и g : 2Q — гомоморфизмы градуированных К-алгебр, причем
(A) (§°) = (- l)deg*deg0 (go) (А) (4.2)
для любых Я € Л, ст 6 2, то существует единственный гомоморфизм h : А ® 2 -v Q градуированных алгебр, для которого h (Я ® 1) = = / (Я), h (1 ® ст) = g (ст).
Доказательство предоставляется читателю (положить h (Я ® ст) =-- f М S (<*))•
Если алгебра Q коммутативна, то условие (4.2) выполняется автоматически. Значит, в категории коммутативных градуированных алгебр диаграмма Л Л ® 2 2 универсальна относитель-
236
Гл. VI. Типы алгебр
но концов Л и 2. В категории всех (не обязательно коммутативных) алгебр универсальная диаграмма определяет свободное произведение (Кон [1959]), а коуниверсальная диаграмма — прямое произведение Л х 2, которое будет определено ниже в VII.(5.1).
Тензорное произведение алгебр вместе с приведенной характеристикой применяется во всех подходящих случаях: тензорного произведения К-алгебр (тривиальная градуировка), колец (К = Z), биградуированных алгебр. В каждом случае тензорное произведение алгебр коммутативно (т: А ® 2 а* 2 ® Л), ассоциативно и удовлетворяет соотношению К <g> Л ^ Л; другими словами, естественные изоморфизмы (2.3)—(2.5) верны и для алгебр. Тензорное произведение длгебр также называется их кронекеровым произведением или, в более ранней литературе, их «прямым» произведением.
Каждой градуированной алгебре А мы ставим в соответствие также градуированную противоположную алгебру Лор. Она определяется как градуированный К-модуль А с той же единицей и новым умножением ялт: Л ® Л -*• Л (берется произведение с соответствующим знаком тех же множителей, но в обратном порядке). Во избежание неудобства от записи двух различных произведений для одной и той же пары элементов мы также говорим, что градуированный модуль Л°р является изоморфной копией градуированного модуля Л относительно отображения Я -*-Я°р, а произведение определяется формулой Я°Р(х°Р = (—i)degWeg й(цЯ,)°р. Очевидна ассоциативность этого умножения. Например, если А — тривиально градуированная алгебра квадратных матриц порядка п с элементами из кольца К с обычным матричным умножением «строка на столбец», то Л°р — кольцо квадратных матриц с умножением «столбец на строку». То же построение противоположной алгебры применимо для построения противоположного кольца (как уже отмечалось в V.7), противоположной биградуированной алгебры и т. д., и в каждом случае существуют естественные изоморфизмы
(Аор)ор а* Л, (Л 0 2)0р s Л6р 0 20р. (4.3)
Тензорное произведение может быть использовано для построения различных примеров алгебр.
Пусть Рк Ixt], i = 1, . . ., п,— градуированная полиномиальная алгебра от неизвестного xt четной степени dt > 0 (§ 3). Коммутативная градуированная алгебра
