Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
о том, что 1 Ф 0).
Градуированная алгебра Л коммутативна (некоторые авторы говорят — косокоммутативна или антикоммутативна), если для любых элементов Я и ^
Яц = (- l)deg*deB V*, (3.4)
т. е. если лд = Ядт: Л ® Л Л, где т — транспозиция (2.4). Вследствие этого определения элементы четной степени перестановочны в обычном смысле. Если к тому же Я2 = 0 для каждого элемента Я нечетной степени, то алгебра Л называется строго коммутативной. Если основное кольцо К есть поле характеристики, не равной 2, то любая коммутативная градуированная К-алгебра строго коммутативна, так как при нечетной deg Я в силу (3.4) ЯЯ — —ЯЯ, 2Я2 = 0, а так как 2"1 лежит в К, то Я2 = 0.
Например, градуированная полиномиальная алгебра Р — Рк UJ может быть определена для любой степени d > 0 «неизвестного» х. Если d = 0, то Р — это обычное кольцо многочленов от неизвестного х с коэффициентами из К. Если d > 0, то Р — градуированный модуль, у которого Рп — 0 для п ф 0 (mod d), a Pqd для каждого <7>0 — свободный К-модуль с одним образующим xq; произведение определяется формулой xpxq =xp+q. Если d четно, то эта полиномиальная алгебра коммутативна. Алгебра Р характеризуется с точностью до изоморфизма тем фактом, что она свободна относительно х. А именно, для любой градуированной К-алгебры Л и любого выбранного элемента Kd степени d существует такой единственный гомоморфизм /: Р -> Л градуированных, алгебр, что fx = Xd.
Внешняя алгебра Е = [и] от одного символа и нечетной сте-
пени d строится с помощью свободного К-модуля Ки с одним образующим и как градуированная алгебра Е, в которой Е0 — К, Ed = Ки, Еп — 0 для 0 ф п ф d, а умножение определено следующими равенствами: 1ы = и = ы1, и2 — 0. Она строго коммутатив-
§ 3. Градуированные алгебры
233
на. Мы можем также определить Е как факторалгебру Рк [х]/(х2), где х — неизвестное степени d, а (х2) обозначает (двусторонний) идеал в Р, порожденный х2. Алгебра Е может быть охарактеризована как строго коммутативная алгебра, свободная относительно и; для любой строго коммутативной алгебры Л с выбранным элементом К) ? Ad существует такой единственный гомоморфизм /: ?к [и ] —>
Л градуированных алгебр, что / (и) = Kd.
Тензорная алгебра Т (М) К-модуля М является градуированным К-модулем
Т0 (М) = К, Тп (М) = Ма = М ® ® М (н сомножителей),
умножение в котором задается отождествляющим отображением я : Mv ® Mq ^ Mp+q. Другими словами, произведение образуется «приписыванием» одного множителя к другому:
(mi ® ® tnp) {m[ ® ... ® m'q) = mi ®® tnp ® /тц ® ... ® tnq.
Ясно, что Т — это ковариантный функтор из категории К-модулей в категорию градуированных К-алгебр. Вообще, если М — градуированный К-модуль, то тензорная алгебра Т (М) определяется аналогично:
оо
То (М) = к © 2 (Мо)р, тп (М) = 2 мй1 ® ... ®
p=t
где вторая сумма берется по всем di, для которых + . . .
+ dt = п. При М = Mi это определение включает в себя предыдущий случай. Градуированная алгебра Т (М) с очевидным К-модульным включением М -> Т (М) (степени 0) характеризуется с точностью до изоморфизма следующим свойством «универсальности».
Предложение 3.1. Если М—градуированный модуль, а А — градуированная алгебра над К, то каждый гомоморфизм g : М -*» А градуированных модулей степени нуль продолжается до единственного гомоморфизма /: Т (М) А градуированных алгебр.
Доказательство. Положим / (mi ® . . . ® тр) =
= (gmi) ¦ ¦ ¦ (§тр)-
В частности, если М — свободный градуированный К-модуль F с п образующими хь . . ., хп, каждый из которых имеет определенную степень, то Т (F) является свободной градуированной алгеброй с этими образующими в том смысле, что всякое отображение множеств |: {хь . . ., х„) А степени нуль продолжается единственным образом до гомоморфизма Т (F) -у А градуированных алгебр.
234
Гл. VI. Типы алгебр
Если модуль F имеет только один образующий элемент х, то Т (F) является полиномиальной алгеброй от неизвестного х; если V — векторное пространство над полем К, то Т (V)— тензорная алгебра пространства V над полем К, состоящая из всех ковариантных тензоров с некоторым числом индексов (сравните с V.2).
Основное кольцо К само есть градуированная К-алгебра с тривиальной градуировкой. Пополненной градуированной алгеброй называется градуированная алгебра А, снабженная гомоморфизмом е: Л —К градуированных алгебр. Полиномиальная, внешняя и тензорная алгебры обладают, очевидно, таким пополнением. Пополненная алгебра называлась также «дополненной» алгеброй (Картан — Эйленберг). В этой книге под «пополнением» объекта С в категории % всегда будет пониматься морфизм е: С В в некоторый фиксированный «базисный» объект В. Так, в категории К-алгебр базисный объект — это алгебра К, в категории цепных комплексов абелевых групп — это тривиальный комплекс 1 и т. д.
Исходя из градуированных К-модулей, мы определили градуированные К-алгебры при помощи морфизма умножения я и морфизма единицы I, которые дают коммутативные диаграммы (3.1). Исходя из других типов модулей, мы получим соответствующие типы алгебр. Так, диаграммы (1.2) для (неградуированных) К-модулей определяют К-алгебры; мы будем называть их неградуированными К-алгеб-рами, когда различение этих типов алгебр необходимо. Аналогично Z-градуированные модули порождают Z-градуированные алгебры, биградуированные модули — биградуированные алгебры, внутренне градуированные модули — внутренне градуированные алгебры. Как и раньше, внутренне и внешне градуированные алгебры эквивалентны: каждая градуированная алгебра А, определяет внутренне градуированную алгебру А* = ^Л.п, в которой умножение определяется с помощью билинейного соотношения
