Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
д (е\в2) = (dei) е2-\-( — i)dim ei (<5е2). (1-5)
Эта «формула Лейбница» типична для кольца, которое есть одновременно комплекс. Другие примеры помещены в следующей главе, которую можно читать параллельно этой.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать эквивалентность трех определений К-алгебры, данных в тексте.
2. Показать, что если J — идеал кольца К, то КjJ есть К-алгебра.
3. Для кольца Р = F [х, у] и произвольного P-модуля А показать, что Extp (F, А) —это фактормодуль А/(хА (J уА), а
Ext^> (F, А) = [(oj, а2) | ait а2 ? A, xa2=yai]/[(xa, уа)\а? А].
4. Получить аналогичную формулу для Torf (F, F), где Р = F [х, у].
5. Построить свободную резольвенту для F как модуля над кольцом многочленов F [х, у, г] от трех неизвестных.
15*
228
Гл. VI. Типы алгебр
§ 2. Градуированные модули
(Внешне) Z-градуированным К-модулем называется семейство М — {Мп, п = 0, ±1, ±2, . . .} К-модулей Мп; элемент т из Мп называют также элементом степени п в М (коротко, deg m = n). Градуированный подмодуль S cz М — это семейство подмодулей Sn cz Мп, по одному для каждого п. Для двух Z-градуированных модулей L и М гомоморфизм f:L ->¦ М степени d — это семейство /={/„: Ln ->-Mn+d; п в Z) К-модульных гомоморфизмов fn. Множество всех гомоморфизмов f:L-+M фиксированной степени d является К-модулем Homd (L, М). Произведение гомоморфизмов степеней dud' имеет степень d + d'. Можно Z-градуирован-ный модуль М записывать также с верхними индексами, как Мп = М-п; в частности, Homd (L, М) = Horn_d (L, М).
Градуированный К-модуль М. — это Z-градуированный модуль, у которого Мп = О при п < 0. Такие градуированные модули наиболее часто встречаются и будут ниже изучаться, причем читателю предоставляется формулировка соответствующих фактов для Z-градуированных модулей. Предупреждение: многие авторы называют «градуированными» Z-градуированные модули и «положительно градуированными» — градуированные модули в нашем смысле.
В тривиально градуированном модуле М М„ = 0 для п ф 0.
Градуированные К-модули М с морфизмами horn (L, М) — = Homo (L, М) — гомоморфизмами степени 0 образуют категорию. Каждый гомоморфизм / : L -*¦ М степени 0 имеет ядро, образ, коядро и кообраз, определенные естественным образом (т. е. почленно для каждого п); они являются градуированными модулями с обычными свойствами. Для фиксированной степени d, Hornd(L,M) — бифунктор, определенный в этой категории, контравариантный по-L и ковариантный по М. Иначе говоря, семейство Нот (L, М) — = {Ногг^ (L, М)} — это бифунктор из этой категории в категорию Z-градуированных К-модулей. Оба бифунктора точны слева в смысле теорем 1.6.1 и 1.6.2.
Тензорное произведение двух градуированных модулей L и М есть градуированный модуль, заданный формулой
(1®М)п= 2 Lp®Mq; (2.1)
р+а=п
кратко: градуировка в тензорном произведении определяется равенством deg (/ ® т) = deg / + deg m. Если / : L -+L' и g : М -*-М'— гомоморфизмы степеней due соответственно, то гомоморфизм / 0 g '• L ® М -v L' ® М' степени d + е определяется формулой
(/ ® g) (I ® m) = (- l)(dee 1Нйеее) (jU ® gm), (2.2)
§ 2. Градуированные модули
229
согласно соглашению о знаке (перестановка g и I). Если deg/ = = deg g = О, то это определение превращает 2 0 М в ковариантный бифунктор внутри категории градуированных модулей. Этот функтор точен справа, как и в теореме V.5.I.
Тензорное произведение градуированных модулей удовлетворяет тем же формальным тождествам, что и в неградуированном (= тривиально градуированном) случае, т. е. имеются естественные изоморфизмы степени О
а : L 0 (М 0 N) ^ (L 0 М) 0 N, а [/ <g> (m 0 л)] = (I ® пг) 0 п,
(2,3)
т :L®M^M®L, T[/<g>m] = (-l)(df8')(degm)m® /, (2.4)
К 0 М^М&М ® К, k 0 m~>km<— m 0 k. (2.5)
В этих формулах 0 = 0к, а основное кольцо К рассматривается как тривиально градуированный модуль К, в котором К0 = К, Кп = 0 при пф 0. Мы рассматриваем эти изоморфизмы как отождествления. Мы можем это сделать, так как они согласованы явным образом друг с другом; если даны два произвольных итерированных тензорных произведения одних и тех же модулей Mi, . . ., Ms, то подходящая комбинация этих изоморфизмов порождает каноническое отображение первого тензорного произведения во второе. При этом, возможно, вычеркивается или добавляется множитель К и учитывается знак в соответствии с соглашением о знаке, как в (2.4).
Те же самые свойства Нотк и ®к справедливы для Z-градуи-рованных модулей и для множества других случаев, описываемых ниже.
Биградуированный К-модуль В есть семейство В = {Вр,91 р, q € Z} К-модулей ВР1д, причем BPfQ — 0, если р < 0 или q < 0; гомоморфизм /: В -*• В' бистепени (d, е) — это семейство ifP,q : BP,q B'v+d,q+e} К-модульных гомоморфизмов. Так, тен-зорное произведение двух градуированных модулей L и М первоначально является биградуированным модулем {Ьр 0 Mq), который суммированием (2.1) превращается в просто градуированный модуль. Аналогично тензорное произведение двух биградуирован-ных модулей Б и С есть четырежды градуированный модуль, который порождает биградуированный модуль суммированием
