Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
0 -» Ext (Яп_, (К), G) Нп (К, G) Нот (Нп (К), G) -> 0.
Сейчас мы получим соответствующую теорему для групп гомологий.
Теорема 11.1. Если К — (не обязательно положительный) комплекс абелевых групп без элементов конечного порядка и А —
§ 11. Теоремы об универсальных коэффициентах
223
абелева группа, то для као/сдой размерности п существует расщепляющаяся точная последовательность групп
0-+Нп{К)®А Л Нп (К ® Л) —> Тог (Hn-i (К), А) —> 0, (11.1)
в которой оба гомоморфизма естественны и действие гомоморфизма р определено на цикле и из К равенством р (els и ® а) = els (и ® а). Если К — комплекс векторных пространств над некоторым полем и V — векторное пространство над тем же полем, то p:Hn(K) ® V^Hn(K® V).
Этот результат есть следствие предыдущей теоремы 10.4. Прямое доказательство просто в случае, когда комплекс К свободен. Будем писать 3„ вместо д ® 1 : Кп ® A ® А. Точная последова-
тельность
0 —> Сп —> Кп ¦—> Сп-1 —Нп-1 —> о
является свободной резольвентой группы Нп~й тензорное произведение этой последовательности и группы А имеет поэтому нулевую группу гомологий в размерности 2, Тог (Нп-и А) в размерности 1 и Нп-1 ® А в размерности 0. Первое означает, что Сп ® А можно рассматривать как подгруппу в Кп ® А; действительно,
Im dn+i аСп® Acz Кег дп cz Кп <8> А.
Второе означает, что Кег дп/Сп ® А ^ Тог (Нп-и Л); третье (с заменой п на п + 1), что Сп ® Л/ImA+i = Нп ® Л. Следовательно, Я„ (К ® Л) = Кег d„/Im dn+i есть расширение группы Нп ® Л с помощью Тог (Нп-и А), что и утверждается точной последовательностью (11.1).
Следствие 11.2. Если К и К' — комплексы абелевых групп, каждый из которых не имеет элементов конечного порядка, и если f : К -*¦ К' *— такое цепное преобразование, что /# : Нп {К) ^ ^ Нп (К') — изоморфизм для каждого п, то /* : Нп {К ® Л) ->яп (К' ® Л) — изоморфизм для каждой абелевой группы А и каждого п.
Доказательство. Нужно написать последовательности (11.1) для комплексов К и К' и применить лемму о пяти гомоморфизмах, как в доказательстве следствия II 1.4.6.
Эти теоремы об универсальных коэффициентах выражают гомологию и когомологию комплекса К с любыми коэффициентами в терминах так называемой «целой» гомологии Я„ (К), по крайней мере в том случае, когда группы Кп свободны. Если Кп — свободные конечно порожденные абелевы группы, то существуют соответствующие выражения в терминах «целой» когомологии Я” (К, Z) (см. ниже упражнение 2).
224______________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
УПРАЖНЕНИЯ
1. Построить для абелевых групп К и А естественные гомоморфизмы Нога (К, Z) ® А -*¦ Нош (К, Л) и К ® А Нош (Нога (К. Z), А). Показать, что это изоморфизмы, если К — конечно порождённая свободная группа, и что они являются цепными преобразованиями, если К — комплекс.
2. Пусть К — конечно порожденный комплекс свободных абелевых Групп. Обозначим Нп (Нош (К, Z)) через Нп (К)- Используя упражнение 1 н теоремы об универсальных коэффициентах, построить естественные точные последовательности
О —*¦ Нп (К) ® G —> Нп (К, G) Тог (tfn+i (К), G) —> О,
О -* Ext (Я"+1 (К), А) ->Нп(К®А)-> Нога {Нп (К), А) -> 0.
3. Если К — комплекс конечно порожденных свободных абелевых групп, то показать, что л-е число Бетти комплекса К (П.2) равио размерности векторного пространства Нп (К ® Q), где Q — поле рациональ-.ных чисел.
4. Для комплекса К из упражнения 3 и поля Zp вычетов по модулю р вычислить, размерность векторного пространства Нп (К ® Zv), зная числа Бетти и коэффициенты кручения комплекса /С.
5. Для комплекса К векторных пространств над полем F обозначим через К* сопряженный комплекс Нот (К, F). Установить естественные изоморфизмы Нп (К*) s [Нп (/С)]*, если каждое пространство Кп конечномерно.
Замечания. Тензорные произведения долго использовались в неявном виде как G®r 2 %е1 35 2 или как У ® ^ = Нот (V*,W). Их центральное место в полилинейной алгебре было подчеркнуто в трактате Бурбаки [1948] на эту тему. Тензорные произведения абелевых групп впервые были явно определены Уитни [1938]. Теорема об универсальных коэффициентах 11.1 была доказана Чехом [1935], который, таким образом, ввел (но не назвал) периодическое умножение’ Тог4. Картан и Эйленберг использовали резольвенты для определения более высоких периодических умножений. Описание (§ 6) Tort для абелевых групп при помощи образующих и соотношений (Эйленберг — Маклейн [1954], § 12) полезно при изучении спектра Бокштейна комплекса К абелевых групп (о различных группах чп (К, гту и их связи см. Бокштейн [1958], Палермо [1957]). Аналогичное описание (упражнения 7.1, 7.2) Тогп с помощью образующих и соотношений (Маклейи [1955]) включает некоторые новые довольно таинственные функторы —«произведения скольжения» (например, Т в упражнении 6.7) и приводит к абстрактной характеристике (§ 7) элементов из Тогп как троек
<Ц. L, V).
ГЛАВА
Типы алгебр
§ 1. Задание алгебр диаграммами
Эта глава посвящена изучению формальных свойств различных типов алгебр над фиксированным коммутативным кольцом К. Употребляются следующие сокращения: ® для <g)K и Нот для Нотк-
