Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 91

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 227 >> Следующая

0 —> Coker En+i —> Нп (К 0 L) —> Кег Еп —> 0 (Ю.4)
является точной. Мы хотим сравнить ее с последовательностью
(10.3), которая имеет тот же средний член Нп (К 0 L). Пусть д' обозначает отображение Dm+i ->- Ст, индуцированное д.
Модуль гомологий Нт (К) можно описать при помощи короткой точной последовательности S : Dm+1 >-> Cm -» Нт (К). Возьмем тензорное произведение этой последовательности и модуля Hq (L). Поскольку Ст — плоский модуль, Tort (Cm, Hq (L)) = 0, так что длинная точная последовательность для периодического произведения, просуммированная по т 4- q = п, принимает вид
2Tort(Нт(К), Hq(L))»
Д* 2 Dm+1 ® Hq (L) —^ 2 Cm ® Hq (L) -» 2 Нт (К) ® Hg (L)
I р I р
Нп-н (D ® L) Нп (С ® L). (10.5)
Поскольку Dm+1 и Ст — плоские модули, вертикальные отображения являются изоморфизмами по лемме. Если мы будем знать, что квадратная часть диаграммы (10.5) коммутативна, то мы получим описание Кег (En+i) с помощью Кег (d' 0 1); более точно Кег (?71+1) ^ Кег (д' 0 1)^ 2Тог! (Я (К), Н (L)) и Coker ?п+1 з* я* Coker (д' 0 1)^ 2Я (К) 0 Я (L). Таким образом, последовательность (10.4) превращается в искомую последовательность (10.3). Можно также проверить, что первое отображение из (10.3) действительно является гомологическим умножением, в то время как вто-
§ 10. Формула Кюннета
219
рое отображение Р описывается при помощи коммутативности следующей диаграммы:
Hn{K®L)X 2 TorHg(L))
m+9=n
1 |s, (Ю.6)
Hn{(K/C)0L)l~ 2 (K/C)m0Hq(L),
m+q=n
в которой К К/С — каноническая проекция, р — изоморфизм, Sm — короткая точная последовательность Sm : Кт/Ст >-» Cm-i -» Hm-i (К) и S* — сумма соответствующих; связывающих гомоморфизмов для Tori. Эта диаграмма показывает естественность гомоморфизма Р, однако отметим, что его определение не симметрично относительно К и L; если предположить, что модули Сп (L) и Вп (L) также являются плоскими, то симметричные относительно L рассуждения устанавливают существование отображения Р', возможно отличного от Р'. Мы покажем ниже (предложение 10.6), что Р = Р' для комплексов абелевых групп; мы предполагаем, что то же самое верно и в общем случае.
Осталось показать, что квадрат в диаграмме (10.5) коммутативен. Элемент 2d; 0 els vt из Dm+l 0 Hq (L) переходит при отображении р в els (2d; 0 vt). По определению связывающий гомоморфизм Еп+1 действует следующим образом: берется прообраз
2 А* 0 vt ? К 0 L цикла 2dt 0 vt из D 0 L, затем берется прообраз в С 0 L границы 2d'dt 0 vt этой цепи и, наконец, берется гомологический класс последнего прообраза. Отсюда следует, что els (2d'di 0 vt) = р (д' 0 1) (2dt 0 els t>;), т. е. коммутативность указанного квадрата.
В случае комплексов абелевых групп мы можем сказать больше.
Теорема 10.4. (Формула Кюннета для абелевых групп.) Если К и L — (не обязательно положительные) цепные комплексы абелевых групп и если в группах Кп нет элементов конечного порядка, кроме 0, то последовательность (10.3) точна и расщепляется гомоморфизмом, который не является естественным.
Доказательство. Поскольку группы Кп без кручения, подгруппы Сп и Вп также являются группами без кручения и, значит, плоскими Z-модулями; поэтому предыдущая теорема, дает точную последовательность (10.3). Остается показать, что она расщепляется. Предположим сначала, что К и L — комплексы свободных абелевых групп Кт и Lq. Тогда Dm ^ дКт с Km-i — подгруппа свободной абелевой группы и, значит, сама свободна, так что группа Кт, как расширение Ст с помощью Dm, расщепляется:
Кт
Ст @ Dm. Поэтому гомоморфизм els : Ст Нт (К) можно
220______________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
продолжить до гомоморфизма <рт : Кт—> Нт (К), где <р тс — else для каждого цикла с. Существует аналогичный гомоморфизм
: Lq Hq (L) для свободного комплекса L. Тензорное произведение этих групповых гомоморфизмов порождает гомоморфизм Ф ® ip : (К ® Цп 2Ят (К) ® Hq (L); поскольку ф и аннулируют группу границ, то эту же группу аннулирует и отображение Ф ® Значит, существует индуцированное отображение (ф ® ,Ф)*: Нп (К ® L) 2Ят (К) ® Hq (L). Для циклов и н v, (ф ® 'Ф)* Р (els и ® els о) = (ф ® if)* els (u ® t>) = ф« ® l|)t) = = els u ® els v, так что (ф ® ^)*р== 1 и (ф ® — левый обрат*
ный к р, расщепляющий нашу последовательность.
Теперь рассмотрим любые комплексы К и L (причем комплекс К без кручения). Ниже мы покажем, что можно так выбрать свободный комплекс К' и цепное преобразование / : К' -*¦ К, что каждое отображение Д, : Яр (К') Нр (К) является изоморфизмом. При аналогичном выборе преобразования g: U -*-L естественность р и Р означает, что следующая диаграмма коммутативна:
0~>%H(K')®H (//)ЛН(К' ® L')Л 2Тог (Я (К'), я(Z/))-> о
I f*®g* I | Тог(/*, g*)
0 -> 2 Н (К) ® Н (L) Л я (К ® L) Л 2 Тог (Я (К), я (L)) 0.
В силу выбора / и g внешние вертикальные отображения — изоморфизмы. Следовательно, по короткой лемме о пяти гомоморфизмах среднее вертикальное отображение также является изоморфизмом. Таким образом, нижняя точная последовательность изоморфна верхней точной последовательности, которая, как только что было установлено, расщепляется. Значит, и нижняя последовательность расщепляется.
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed