Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть f : К -*¦ L — цепное преобразование, Fh — фильтрация К,
МЛ — фильтрация L и f (Fh) с Mh. Пусть : Нп (Fh/Fh—1) Нп (Mk/Mk~1)
216______________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
— изоморфизм для всех п и k и.для каждого п существует такое k, что вложения индуцируют изоморфизмы Нп (Fh) es Нп (К), пп (Mh) ss Hn (L). Показать, что f* : Нп (К) -*¦ Hn (L) — изоморфизмы ^ля всех я.
3. Доказать, * -что Ext” (С,A) es Нп (Нот (X, К)), где е : X С есть проективная резольвента, т| : А -*¦ Y есть инъективная {Резольвента.
§ 10. Формула Кюннета
Тензорное произведение комплексов соответствует прямому произведению пространств X и Y в том смысле, что можно доказать (VII 1.8) цепную эквивалентность сингулярного комплекса S(X X F) комплексу S (X) ® S (F). Это обстоятельство определяет задачу настоящего параграфа: описать группы гомологий комплекса К ® L в терминах групп гомологий комплексов К и L.
Формула взятия границы (9.2) показывает, что тензорное произведение и (g) v циклов является циклом в К ® L и что тензорное произведение цикла и границы есть граница. Следовательно, для циклов и и v комплексов /Си L соответственно формула
р (els и ® els v) = els (и ® v) (Ю-1)
корректно определяет гомологический класс в К. ® L, так что порождается гомоморфизм
р '• Нт (К) ®в Hq Щ —> Hm+q (К 0R L)
абелевых групп, называемый (внешним) гомологическим умножением. Прямая сумма 2Ята ® Hq для т + q = п при этом отображается в Я„ (К 0 rL), образ совпадает со всей группой Нп (К 0 L) при выполнении определенных условий для модулей Вт (К), Ст (К) и Нт (К) границ, циклов и классов гомологий комплекса К соответственно.
Теорема 10.1. (Тензорная формула Кюннета.) Если L — комплекс левых R-модулей, а К — комплекс правых R-модулей, удовлетворяющий условию
(i) Сп (К) и Нп (К) — проективные модули для всех п; тогда для всех п гомологическое умножение является изоморфизмом
р: S Hm(K)®RHq(L)=*Hn(K0RL). (10.2)
m4-q=n
Этот результат является следствием более общей теоремы, которая, помимо других обстоятельств, показывает, что образ гомоморфизма р обычно не исчерпывает группу Я (К ®н Ц-
Теорема 10.2. (Формула Кюннета.) Если L — комплекс левых R-модулей, а К — комплекс правых R-модулей, удовлетворяющий условию
§ 10. Формула Кюннета
217
(и) модули Сп (К) и &п (К) являются плоскими для всех п; тогда для каждой размерности п существует короткая точная последовательность
0-» S Hm{K)®RHq(L)^Hn{K®RL)A
m^-q—n
Л 2 Тог«(Ят(/С), Я, (!))-> О, (Ю.3>
nt-fg=n— 1
б которой р — гомологическое умножение, а (5 — естественный гомоморфизм.
Ни один из комплексов К, L не обязан быть положительным.
Теорема 10.1 вытекает из последней теоремы. Действительно, поскольку Нп (К) а* Сп (К)/Вп (К), то из предположения (i) о проективности модуля Нп (К) следует, что эпиморфизм С„ -» Нп расщепляем, т. е. модуль Вп (К) является прямым слагаемым проективного модуля Сп и поэтому сам проективен. Так как каждый проективный модуль плоский (теорема 8.6), то модули Сп и Вп плоские, что и требуется в условии (и). Более того, Tor4 (Нт, Hq) = О для плоских модулей Нт, так что (10.3) сводится к (10.2).
Прежде чем доказывать теорему 10.2, мы рассмотрим специальный случай, когда граница комплекса К равна нулю. Для этого достаточно положить К — G.
Лемма 10.3. }Если G — плоский правый R-модуль, то p:G® Нл (L) &Hn(G® L).
Доказательство. Положим Нп = Нп (L), Сп = Сп (L), Вп = Вп (L). Высказывание о том, что Нп есть п-я группа гомологий комплекса L, равносильно высказыванию о точности строк и столбцов коммутативной диаграммы
0 0
t 1
Вп- --->Сп-
t 1
а ,
1"П+1 ->Ln
1а
Lnr-l
Действительно, точность длинного столбца означает, что Сп — ядро д : Ln -у Ln-u а точность короткого столбца дает представление Вп в виде dLn+i; точная строка определяет Нп как фактормодуль Сп1Вп. Возьмем тензорное произведение каждого члена этой диаграммы на модуль G. Поскольку G — плоский модуль, новая диа-
218
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
грамма точна, что и устанавливает изоморфизм группы G ® Нп с группой гомологий Я„ (G 0 L), причем этот изоморфизм задается отображением р. Значит, лемма доказана.
Для доказательства теоремы 10.2 мы рассмотрим семейства Сп = Сп (К) и Dn — Кп /С* ^ Вп-1 (К) как комплексы плоских модулей с нулевой границей, так что последовательность С >* К -»D есгь точная последовательность комплексов. Так как модуль Dn ^ Вп-1 (К) является плоским по условию, то Tort (Dn, Lq) = 0, поэтому последовательность E\C®L>*K(&L-*>D®L также является точной последовательностью комплексов. Обычная точная гомологическая последовательность для последовательности Е имеет вид
Нп+1 (D 0 L) Нп (С 0 L) -* Нп (К ® L) ->
-> Нп (D ® L) ^ Hn-t (С 0 L),
где Еп — связывающие гомоморфизмы. Другими словами, последовательность
