Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 9

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 227 >> Следующая

Тот же метод позволяет читателю убедиться в справедливости следующих более общих результатов (сформулированных Дж. Лейх-том):
Лемма 3.2. (Сильная лемма о четырех гомоморфизмах.) Пусть в коммутативной диаграмме
I
(32)
строки точны, т — эпиморфизм, a v — мономорфизм. Тогда
Кег р = ? (Кег a), Im a = Tf1 (Im Р).
В этой диаграмме точки обозначают модули или группы (не обязательно абелевы).
В упрощенной формулировке (слабая лемма о четырех гомоморфизмах) утверждается, что в той же самой коммутативной диаграмме Р — мономорфизм, если а и v — мономорфизмы, а т — эпиморфизм и a — эпиморфизм, если тир — эпиморфизмы, а v — мономорфизм. Наиболее часто используется такое следствие.
Лемма 3.3. (Лемма о пяти гомоморфизмах.) Пусть дана коммутативная диаграмма ’
(3.3) ,
сточными строками. Если а,!, а2, «4» а5 — изоморфизмы, то иа3 — изоморфизм. Более полно:
(i) если а, — эпиморфизм и а2, а4 — мономорфизмы, то и а3 — мономорфизм;
jai jas |а4 |
as
§ 4. Прямые суммы
27
(ii) если а5 — мономорфизм и а2, а4 — эпиморфизмы, то и а3 — эпиморфизм.
Доказательство. Применить диаграммный поиск или лемму 3.2 к первым трем квадратам слева и к первым четырем квадратам справа.
§ 4. Прямые суммы
Внешняя прямая сумма ® Л2 двух ^-модулей А1 и Л2 является /^-модулем, состоящим из всех упорядоченных пар \аи аг), где щ 6 Лг, в котором модульные операции определены следующим образом:
(ai, а2) + (а[, а2) = (а4 + а[, а2 + а2), г (а/, а2) = (га4, га2).
Отображения i и я, заданные формулами ца, = (аь 0), 12а2 =
= (0, а2), (аь а2) = аи я2 (аи а2) = а2, являются гомоморфизмами
Ai Л!@Л2 ^ Л2, (4-1)
ill Яа
которые удовлетворяют равенствам
л111 = 1а1) nji2 = 0,
л:2Ч = 0, я212=1Аа, (4.2)
11л1 + 12л2 = 1 АхфАа-
Назовем ц и i2 вложениями, а я, и я2 — проекциями прямой суммы. Диаграмма (4.1) включает частичные диаграммы:
Инъективную диаграмму прямой суммы Л_^Л1@Л2.<3-Л2;
Проективную диаграмму прямой суммы Л 4 «2L Л 4 @ Л 2 Л2;
ij
Одностороннюю диаграмму прямой суммы Л t ^ Л, @ Л 2;
П\
Диаграмму последовательности прямой суммы At Д. Л4 @ © Л 2 Л 2;
в частности, последняя диаграмма есть короткая точная последовательность. Вместо данного выше определения прямой суммы, использующего элементы, можно охарактеризовать каждую из указанных диаграмм подходящими свойствами. Имея в виду последующие обобщения (гл. IX), мы при доказательстве этих свойств используем только диаграмму (4.1), равенства (4.2) и формальные свойства сложения и умножения, гомоморфизмов; в частности, используются дистрибутивные законы
Р (ai + аг) = Ра1 + Ра2 и (а1 + а2)\ = а1у + а2у.
28
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Предложение 4.1. Для данных модулей At и А2 любая диаграмма
11 12 Ai В А2 Я1 Я1
вида (4.1), для отображений которой выполнены пять равенств, аналогичных равенствам (4.2), изоморфна диаграмме прямой суммы. Более точно, существует такой единственный изоморфизм 0: В At © А 2, что
= /= 1, 2. (4.3>
Доказательство. Определим 0 равенством 0 = цат' -|-+ 12Л2 и аналогично 0': @ А2 В равенством 0” = I'atj + 1'зт2.
Из равенств (4.2) вытекает, что 0' является двусторонним обратным для 0 и, следовательно, 0 — изоморфизм. Свойства (4.3) следуют непосредственно из (4.2). Значит, если 0 удовлетворяет (4.3), то 0 = (цат! + 12я2) 0 = ця' + 12я', так что изоморфизм 0 действительно однозначно определен.
Теперь мы охарактеризуем одностороннюю диаграмму прямой суммы.
Предложение 4.2. Любая диаграмма А2 Л В А2, в которой я "i" = Ь3, изоморфна «односторонней» диаграмме прямой суммы Ai @ Аг, где At = Кег я".
Для доказательства требуется построить изоморфизм 0: В -*~ -+Ai@A2, удовлетворяющий равенствам 0i"=i2, я20 = я". Определим 0 равенством вЬ = (b — i"я"Ь, я"Ъ) и 0-1 равенством 0'1 (аь а2) = а4 + i "а2.
Чтобы доказать это предложение без использования элементов модулей, рассмотрим диаграмму
Кег я" Л В i А2,
П”
в которой i' — вложение. Поскольку я"(1в— 1"я") = 0, то
1 jb — 1"я" представимо в виде 1в—1"я" = i'xt' для некоторого я' : ?->Кег я". Теперь я "Г = 0 и i/яЧ' = Г, откуда яЧ* = 1. Следовательно, получены равенства, аналогичные равенствам (4.2), и можно применить предложение 4.1.
Опишем теперь прямую сумму как короткую точную последовательность (ц, я2). В этом случае i2 — правый обратный к я2> а — левый обратный к 'ц.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed