Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 89

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 227 >> Следующая

2. Для проективной резольвенты X модуля 0 пусть Sn (G,X) есть п-кратная точная последовательность 0 -*¦ дХп -*¦ ХпG -*¦ 0. Показать, что изоморфизм to из теоремы 8.1 определяется равенством at = = els д-t [Sn (G, X) t].
§ 9. Тензорное произведение комплексов
Если Кп и rL — цепные комплексы правых и левых ^-модулей соответственно, то их тензорное произведение К ®н L — это цепной комплекс абелевых групп, у которого
(/С®Д^)П— 2 Kp®JiLq, (9-0
p+q=n
а граничные гомоморфизмы определены на образующих k ® I равенством
3(fe® J) = dfe0 l + (-lfeehk® dl. (9.2)
Если К и L — положительные комплексы, то таким же является и комплекс К ® L, а прямая сумма в (9.1) конечна, причем р меняется от 0 до п. Формула взятия границы (9.2) напоминает формулу для производной произведения двух функций; знак (—l)degfe появляется в соответствии с правилом коммутирования: веякий раз, когда два символа и и v переставляются, появляется знак (—1)е, где е = (степень и) х (степень о). Так как во втором члене формулы
214______________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
(9.2) гомоморфизм д степени —1 переставляется за символ k, то появляется этот знак. Используя его, можно установить, что 33 = 0.
Если / : К К’ и g : L-*- L" — цепные преобразования, то определение (f ® g) (k I) = fk ® gl задает цепное преобразование / g : К ® L К.* ® Lf\ этим путем тензорное произведение превращается в ковариантный бифунктор от комплексов. Для цепных гомотопий справедливо
Предложение 9.1. Если fi си /2 : К К’ и gt ~
— &2 : L Ь\ то /4 ® gi ~ /2 ® gz. Подробнее: цепные гомотопии s : /i ~ f 2 и t: gi ~ gz порождают гомотопию
u\fi®gi~f2®g2:K®L->K'®L', (9.3)
определяемую формулой « = s (х) gi + /2 (х) t, т. е.
и (k ® /) = sk ® gil + (— l)deg h f2k ® tl.
Последняя формула написана в соответствии с соглашением о знаке, поскольку символ t степени 1 переставлен за символ k.
Доказательство. Во-первых, sat определяют гомотопии s®l:/i®l~/2®l:/(®L-»-/C<S>LHl®f:l®gi^
— 1 <S> gz- Перемножение этих двух гомотопий (по предложению 11.2.3) и дает нужный результат.
Следствие 9.2. Если f : К -*• К" и g : L L" — цепные эквивалентности, то и f ® g : К ® L К" ® L' — цепная эквивалентность.
В качестве первого применения тензорного произведения комплексов мы покажем, что периодические произведения могут быть вычислены с помощью резольвент обоих аргументов.
Теорема 9.3. Если е: X G и тр Y А — проективные резольвенты модулей GR и НЛ соответственно, то преобразование е® 1: X ® F G ® Y индуцирует изоморфизм Нп {X ®н Y) а* Нп (G ®д У) и, следовательно, изоморфизм
Нп (X ® н Y) ^ Тог” (G, А), п = 0,1,.... (9.4)
Доказательство. Пусть Fh, k — 0, 1, . . ., — подкомплекс комплекса X ® Y, составленный из всех групп Xt ® Yjt где /< /г, и пусть Mk — подкомплекс комплекса G ® Y, состоящий из всех групп G ® Y}, / < k. Тогда
0 = F'1 a F° с F1 с ... с X ® Y,
0 = М'1 аМ° аМ1 с=. ... cr G ® F, ( ^
§ 9. Тензорное произведение комплексов
215
а е ® 1 отображает Fh в Mh. Поскольку д (х ® у) = дх ® у ± ± х ® ду в X ® Y, фактор комплекс Fh/Fh~1 изоморфен комплексу
Аналогично комплекс Mh/Mh~1 состоит только из группы цепей G®Yh размерности k. Так как каждый модуль F* проективен, а последовательность 0 <- G Х0 Xi... точна, то точна и последовательность
0<— G ® Yk<— Х0 ® Yh<— Xi ® Yh<---------.
Это равносильно утверждению, что преобразование е®1 : Fk/Fh~1 -> индуцирует изоморфизм групп гомологий для всех k.
С другой стороны, е ® 1 отображает точную последовательность ph-i >_> pk pkjpk-i в соответствующую последовательность для комплексов М, что приводит к коммутативной диаграмме
Я„+1 (Fh/Fh~') -> Я» (f*->) ->Нп (Fk) -> Нп (№*“') -»Hn-i {Fk~l) ^ ^ ^ ^ ^ Hh+1(Mk/M*-i)->Hn(M*~1)->Hn(Mk)-> Нп(Мк/Мк-')-^Нп-1(Мк-1).
Мы утверждаем, что отображение Нп (Fh) -> Нп (Mh) является изоморфизмом для всех пик. Это верно для отрицательного k и всех п. Предположим по индукции, что это же верно для чисел, меньших к, и всех п. Значит, четыре внешних вертикальных отображения указанной диаграммы являются изоморфизмами, поэтому среднее вертикальное отображение является изоморфизмом в силу леммы о пяти гомоморфизмах. Этим заканчивается ивдукция.
Каждый цикл или граница размерности п из X&Y будет появляться из комплекса Fn+1. Следовательно, из изоморфизма Нп (Fh) ее Нп {Mh) для больших k (именно для k>n+ 1) вытекает искомый изоморфизм Нп (X ® Y) ее Нп (G ® Y). Но Нп (G (х) Y) ^ Тог„ (G, А) в силу симметричного случая теоремы 8.1, чем и заканчивается доказательство.
Последовательность подкомплексов Fk комплекса X® Y, упорядоченная, как в (9.5), называется фильтрацией комплекса X ® Y. Использованный здесь метод сравнения двух комплексов с помощью фильтрации каждого из них будет сформулирован в общем виде в гл. XI.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для комплексов К., L, М над коммутативным кольцом установить сопряженную ассоциативность Нош (К ® L, М) Нош (К, Нош (L,M)).
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed