Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
естественный по аргументу А. Если Y — резольвента, то т = со-1.
Доказательство. Пусть X — проективная резольвента модуля G. По теореме сравнения 1G накрывается цепным преобразованием f : Y X так, что отображение /* : Нп (Y 0 н А)-*
Нп (X 0 нА) не зависит от выбора /. Положим т = от1/*.
Связывающие отображения t-*-Et можно также вычислить с помощью резольвент.
Предложение 8.3. Пусть е : X -> G — проективная резольвента. Каждая короткая точная ¦ последовательность
Е : А >-> В -» С левых R-модулей порождает точную последовательность Х0Е:Х0А>*Х0В-*>Х0С комплексов со связывающим гомоморфизмом дх®в : Нп (X 0 С) Нп-1 (X 0 А).
Для каждого t 6 Tor„ (G, С)
a>(Et) = (-l)ndx®E«>t,
т. е. изоморфизм со теоремы 8.1 коммутирует со связывающими гомоморфизмами.
Доказательство заключается в непосредственном , применении соответствующих определений и предоставляется читателю. Из точности гомологической последовательности для последовательности X 0 Е комплексов вытекает
Теорема 8.4. Короткая точная последовательность Е : А >* В -» С левых R-модулей и правый R-модуль G порождают длинную точную последовательность
-----> Torn (G, Л)-*Tor*(G, В)->Tor*(G, С)¦—>Tor7l_1 (G, А)—> • • •,
(8.3)
оканчивающуюся членами Tor0 (G, Q — G 0 С->- 0. Отображение есть умножение слева на Е.
Для проективного модуля А = Р в силу точности резольвенты X группы Нп (X0P) и, следовательно, Torn. (G, Р) обращаются в нуль при п > 0. Теперь мы можем аксиоматически охарактеризовать функторы Тог так же, как и функторы Ext (ШЛО).
14*
212
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Теорема 8.5. Для фиксированного правого R-модуля G кова- > риантные функторы Тогп (G, А), п — 0, 1, . . аргумента А, взятые вместе с гомоморфизмами ?» : Тог„ (G, С) -*¦ Torn_! (G, А), естественными для коротких точных последовательностей Е модулей, характеризуются с точностью до естественного изоморфизма следующими свойствами:
(i) Тог0 (G, А) — G ®я А для всех А\
(ii) Torn (G, F) = 0 при п~> 0 для всех свободных модулей F;
(iii) последовательность (8.3) точна для всех Е.
По симметрии (предложение 7.5) Тогп (G, А) также порождают длинную точную последовательность, когда первый аргумент G здмещается короткой точной последовательностью; отсюда получается соответствующая характеристика Тог„ как функторов аргумента G при фиксированном А. При R — Z из теоремы вытекает, что Тог4 для абелевых групп совпадает с функтором Тог, определенным в .§ 6 при помощи образующих и определяющих соотношений.
Теорема 8.6. Следующие свойства правого R-моду ля G эквивалентны'.
(i) для каждого левого R-модуля С, Тог4 (G, С) = 0;
(и) всякий раз, когда отображение к : А В является
мономорфизмом, мономорфизмом является и отображение
1 ® х : G (g> А -+¦ G ® В;
(iii) каждая точная последовательность левых R-моду лей остается точной после тензорного умножения на модуль G;
(iv) если А — левый модуль, a G" >* G" -» G — точная последовательность, то последовательность G'‘ ® А >* G" ® А -» G ® А точна;
(v) для каждого модуля RC и каждого п > 0, Тог„ (G, С) — 0.
Доказательство. Очевидно, что (iii) =*> (ii). Обратно, пусть выполнено условие (ii). Тогда из теоремы 5.1 вытекает, что любая короткая точная последовательность остается точной после тензорного умножения на G; поскольку длинная точная последовательность есть произведение коротких, (iii) следует из (ii).
Если выполнено условие (i), то из длинной точной последовательности для Тогп следуют условия (ii) и (iv). Обратно, пусть выполнено условие (ii). Представим С как фактормодуль С ^ PIA проективного модуля Р, так что последовательность
0 = Tori (G, Р) Tort (G, С) —» G ® А -» G ф Р
точна, причем G ® Л G ® Р — мономорфизм ввиду (ii), и, значит, Тог4 (G, С) = 0. Доказательство импликации (iv) =ф (i) аналогично. .
§ 9. Тензорное произведение комплексов
213
Наконец, (v) =*> (i); обратно, С ^ P/А и ввиду точности последовательности
О - Tor* (G, Р) -» Тог„ (G, С) -> Torn_! (G, А), индукцией по п показываем, что (i) =#> (v).
Модуль G, обладающий эквивалентными свойствами, перечисленными в теореме 8.6, называется плоским. Отметим аналогию: проективность модуля Р означает, что функтор Horn (Р, —) сохраняет точность последовательностей; плоскость модуля G означает, что функтор G ® — сохраняет точность последовательностей. Каждый проективный модуль, очевидно, плоский. Если R = Z, то из теоремы 6.2 видно, что плоский Z-модуль — это в точности абелева группа без кручения. Следовательно, плоский модуль может не быть проективным.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть т| : У -*¦ А —проективная резольвента. Установить изоморфизм •»' : Tor^ (G,A) ss Нп (G <2)rY). Для точной последовательности Е'\ О >-> Н -» К доказать, что а>'Е' = dE^Y to'.
