Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Говоря, что отображение (7.8) является гомоморфизмом, мы тем самым утверждаем, что произведение Et аддитивно по каждому
§ 7. Периодические произведения модулей
207
множителю Е и t в отдельности. Однако равенство Е (t + t') = = Et + Ef немедленно вытекает из определения (7.3) сложения в группе Тог„. Другое правило (?i + Ez) t = Ett -+¦ Ezt выводится из определения Ег + Ez = Va (?i © Ez) Ac сложения расширений. Таким образом доказательство закончено.
Если дана последовательность Е и модуль G, то отображение
: Torn (G, С) —> Тог„_1 (G, А) определяется как E*t = Et; следовательно, возникает длинная последовательность
-----> Тог* (<?, А) Tor„ (G, В) Torn (G, С)
f. ' (7-9)
-Л ToTn-iiG, А) ТоГп-1 (G, В) —> • • • .
Точность этой последовательности будет доказана в следующем параграфе гомологическими средствами.
Элемент S ? а ? Ext”1 (С, А) является длинной точной последовательностью, которую можно записать в виде произведения S = = EiEz . . . Ет коротких точных последовательностей. По определению будем считать произведение at равным (Ег . . . (Emt)). Ввиду (7.7) результат не меняется при конгруэнции (Е"у) о Е' ~ = Е" ° (уЕг) длинных точных последовательностей, и поэтому корректно определен «связывающий» гомоморфизм
Extm(C, Л)® Torn(G, С) —> Тогп-m (G, Л), п > т. (7.10)
Симметричные результаты получаются для точных последователь-' ностей первого аргумента функтора Тог„. Именно для последовательности Е" ? Ext' (К, G) и элемента t? Тогп (К, А) определяется произведение ЕЧ ? Tor„-i (G, Л), обладающее свойствами, аналогичными указанным в теореме 7.6, и порождающее связывающие гомоморфизмы ч~
Ext”1 (К, G) ® Тог„ (К, А) Тог„_т (G, Л), п > т. (7.11)
Умножения на Е и Е‘ коммутируют в следующем смысле:
Теорема 7.7. Пусть Е = (и, а) : Л >-» В •» С и Е‘ = = (Я, т) : G >* Н -» К являются короткими точными последовательностями левых и правых модулей сортветственно, а t 6 Тог„ (К,С). Если п> 2, то EE't = — E'Et ? Тог„-2 (G, Л).
Доказательство. Пусть t = (p., L, v). Произведения Et я E't вычисляются с помощью диаграмм
г* Д 1* д* с L, Д Г к
L,n--- 1 1 ^ L*n Ьо --->
|,ФП-1 |<РП II II
А Х в Л с сЛ я Л к
Л->
208______________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
и равны Et = (н, n-JL, фп-j) и E't = (%, \L, v) соответственно. При п > 2 диаграммы не перекрываются, так что мы можем вычислить EE't с помощью первой диаграммы, заметив, что операторы 8 для L* и 6 для ("L)* имеют противоположные знаки. Изменение знака ф в диаграмме дает EE't = n~[L, —Фп-i). Аналогично,
но без затруднений со знаком получаем E'Et = n~{L, фл-i).
Следовательно, E'E = —ЕЕ', что и утверждалось.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Взяв свободный модуль L с заданным базисом, показать, что эле-
менты из Toq (G, С) можно считать символами ((gt, . . ., gm), х, (clt . . ., сп)), где gi ? G, cj 6 С и х — такая матрица размера тХп элементов кольца R, что (gj, . . gm) х = 0 = х (с1( . . Сц)'-, штрих означает здесь транспо-
нирование. Описать сложение таких символов и показать, что равенство этих символов задается скользящими матричными делителями матрицы х справа и слева.
2. Получить аналогичное определение Tor„ (G, С).
3. Доказать, что Torn (Р, С) = 0 для п > 0 и проективного модуля Р. (Указание: покажите сначала, что это утверждение достаточно доказать для конечно порожденного модуля Р.)
Точность последовательности (7.9) может быть доказана непосредственно (т. е. без гомологий) так, как указано в следующей цепочке упражнений.
4. Показать, что произведение двух последовательных отображений из (7.9) равно нулю и что из точности (7.9) для конечно порожденных модулей G вытекает точность для всех модулей G.
5. Для точной последовательности Е' — (X, т) : G >-» Н -» К со свободным модулем Н показать, что отображение Ei : Torn (К, С) Torn_! (G, С) является изоморфизмом при n> I и мономорфизмом с образом Кег (Я,® 1q) при п = 1. (Указание: построить обратное отображение.) Показать, что Ei изоморфно отображает указанную часть диаграммы (7.9) при п = 1 на Кег-Сокег-последовательность 2X3 диаграммы со строками G ® Е и Н ® Е.
6. Индукцией по п доказать точность указанной части последовательности (7.9).
§ 8. Периодические произведения и резольвенты
Функтор Ext" (С, Л) может быть вычислен с помощью проективной резольвенты X модуля С как Я"(Нотн (X, А)) (теорема II 1.6.4). Существует аналогичный способ вычисления для Тог„ (G, А). Если е: X G есть проективная резольвента правых 7?-модулей, тоХ ® дЛ — это комплекс абелевых групп с граничным гомоморфизмом д ® 1А : Хп ® Л ->• Х„_1 ® Л. Из теоремы сравнения для резольвент ясно, что группа гомологий Нп (X ® НЛ) не зависит от выбора X и, следовательно, определяет функцию от аргумен-
§ 8. Периодические произведения и резольвенты
