Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
где комплекс L имеет длину п, а ц, v — цепные преобразования, описанные выше. Если L' — другой такой комплекс и р : L V есть цепное преобразование, то цепным преобразованием является и сопряженное отображение р* : V* -*¦ L*. Для данных преобразований ц,‘: V -*¦ G и v: L* -*¦ С мы считаем, что
(ц'р, L, v) = (|i\ L'.vp*). (7.1)
Эти отображения можно описать с помощью двух коммутативных диаграмм
G*-L0<--------Ln L* —>-------
|| К P,*t P^t II
G<-L'0<-------<-Ln, . L'*->------>L'n*-+C,
похожих на определение отношения конгруэнтности в Ext" с помощью длинных точных последовательностей. Формально отношение равенства в Тогп должно быть наиболее слабым отношением эквивалентности, для которого выполняется (7.1); это означает, что две тройки из Тог„ равны, если вторая получается из первой конечной последовательностью применений правила (7.1). Тем самым Тогп описывается как множество.
Это множество является функтором. Действительно, если даны отображения т} : G G', у : С С', то правила
Л* (I*. v) = (ЛИ. L> v)> Y* (l** v) = 0*. T>) (7-2)
сохраняют в силе равенство (7.1) и превращают Тогп в ковариант-. ный бифунктор.
Для двух троек tt и tz из Torn (G, С) тройка
(М-i, L1, v,) © (ц2, L2, v2) = (fi, © ц2, L10 L2, V! © v2)
является их прямой суммор и содержится в. Тогч (G 0 G, С © С). Если ti = t[ и tz = t's в соответствии с (7.1), то t% © tz = t[ © t'2. Если сaG — автоморфизм группы G © G, определенный равенством © (gi, ёг) = (gz, 8i), то (cdg)* (tt © tz) = (fi>c)* (tz © h), что можно проверить, применяя (7.1) к отображению р : L1 © L2 L2 © L1, переставляющему слагаемые.
§ 7. Периодические произведения модулей
203
Теперь Тог„ (G, С) можно сделать абелевой группой, если определить сложение формулой
<i + fi = (Va)*(Vc)*(<i©f*)€Tor„(G, С), (7.3)
где Vo : G 0 G-+- G и Vc — кодиагональные отображения (Ш.2.Г). Доказательство выполнения групповых аксиом проводится непосредственно. Ассоциативный закон следует из ассоциативного закона для кодиагональных отображений. Закон коммутативности вытекает из равенств (wG)* (tt © tz) = (©с)* (h © ti) и VGcoG = VG. В качестве нуля для сложения мы можем взять тройку (0, 0, 0), в которой средний нуль обозначает нулевой комплекс длины п, а обратной к тройке —(ц, L, v) является тройка (—ц, L, v). Отображения т]* и у*, определенные в (7.2), являются гомоморфизмами относительно этого сложения, так что Тогп превращается в бифунктор со значениями в категории абелевых групп. Те же формулы (7.2) показывают, что если модули G и С являются бимодулями jGr, RCS над другими кольцами Т и S, то Тог„ есть бимодуль T(Torn)s, так же как и в (3.1).
Предложение 7.1. Символы (ц, L, v) в Тог„ аддитивны по II и v, например,
(fii + ft2. v) = (fii, L, v) + (n2, L, v). (7.4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним (III.2.2), что щ + ц2 = = Vg (|^i + |Lt2) Al. Двойственным к диагональному отображению Аь : L 0 L 0 L является кодиагональ Vl* : L* 0 L* L*. Значит, (7.4) можно вывести из правила равенства (7.1) и определения (7.3) следующим образом:
(Hi -f ц2, L, v) = (Ve(|ii0l*2)Ab. L’ v) = (VG(^©[i2),L©L, vVl*)= = (VG (M'l©^)) L@L, Vc (v©v)) = (M'ii v)+(^2> L, v).
Предложение 7.2. Каждый элемент из Torn (G, Q имеет вид (ц, F, v), где ц: F G, v: F* С и F — цепной комплекс длины п конечно порожденных свободных правых модулей. Следовательно, функтор Тогп, определенный с помощью комплексов конечно порожденных свободных модулей Ft, естественно изоморфен функтору Тогп, определенному с помощью конечно порожденных проективных модулей Li.
Доказательство. Описанная выше конструкция, в которой используются только свободные модули вместо проективных, дает функтор Torf„ (G, С). Поскольку каждый свободный комплекс F длины п проективен, каждый элемент (p., F, v) из Torf„ является также элементом из Тогп. Это отображение Torf Тог имеет двустороннее обратное отображение. Чтобы показать это, возьмем любую тройку (ц, L, v) 6 Тогп. Каждый модуль Lh можно
204
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
представить как прямое слагаемое некоторого конечно порожденного свободного модуля Fk = Lk © Mk- Построим комплекс F с границей д 0 0: Lh © Mk Lh-1 0 Mk~i. Вложение i: L -> F и проекция n : F L являются цепными преобразованиями, для которых Я1 = 1, 1*я* = 1. В силу нашего правила равенства
(fi, L, v) = (n, L, У1*л*) = (ця, F, Vi*),
это элемент из Torf, так как F — свободный комплекс длины п. При таком переходе тройки равные в смысле (7.1) переходят в равные тройки в Torf; отсюда вытекает естественный изоморфизм Тог„ Tori„.
При п = 0, Тог о можно отождествить с ®.
Теорема 7.3. Существует естественный изоморфизм G С eg Тог^ (G, С).
Доказательство. Каждый элемент g ? G определяет отображение : R -> G правых R-модулей равенством (г) = gr\ аналогично каждый элемент с ? С определяет отображение vc : R = R* -> С левых ft-модулей равенством vc (1) = с. Тройка (цё, R, vc) ? Тог0 (G, С) аддитивна по g и с и внутренне линейна, так что отображение g ® с-*~ (fig, R, vc) определяет гомоморфизм абелевых групп G ® С ->• Tor0 (G, С). Этот гомоморфизм естествен и превращает каждый элемент llgi ® сг из G ® С в тройку (ц,, F, v), где F — свободный модуль с образующими е;, цег = gt и ve* = сг.
