Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
В нижней строке отображение Е# определяется «обращающим» правилом Е#с — x^qa^c + qA\ используя это определение, легко проверить коммутативность указанной диаграммы. Поскольку г\ из (1.9) и ? из (6.5) — изоморфизмы, проверка точности верхней строки теперь сводится к установлению точности нижней строки, которая полностью выглядит так
200_____________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Точность здесь проверяется с помощью определений членов и точности последовательности Е. Например, если к (а + qA) = 0 в B/qB, то ка = qb для некоторого элемента b ? В. Значит,
о (qb) = 0 и поэтому ab = с ? qC; то же самое определение обращения дает Е#с — а + qA.
Мы предоставляем читателю доказательство следующей теоремы.
Теорема 6.2. Следующие условия для абелевой группы G эквивалентны:
(i) в G нет элементов конечного порядка, кроме 0;
(и) Тог (G, А) = 0 для всякой абелевой группы, А;
(Ш) если к: А -> В есть мономорфизм, то 1 <g) к: G ® А ->
G ® В также мономорфизм:
(iv) любая короткая точная последовательность остается точной после тензорного умножения ее членов на G;
(v) любая точная последовательность остается точной после тензорного умножения на G.
Говорят, что группа G без кручения, если в ней выполнено условие (i).
Для обобщения полезно иное описание образующих группы Tor (G,A). Тройка (g, т, а) определяет три гомоморфизма
G t~Z t- Z, у: Z = Z*->A,
если положить ц1 = g, dl — т, vl = а. Будем считать L : Z •«-•«- Z цепным комплексом с нулями во всех размерностях, кроме
L0 == Z = Ьй поскольку цд = 0, L -у- G также цепной комплекс
над G. И будем считать сопряженный комплекс L* цепным комплексом д*: LJL* над А с гомоморфизмом v:L*-+A. Тройка (g, т, а) превращается в тройку (|х, L, v>, где
L и L* — сопряженные цепные комплексы («длины» 1),
|г. L—>G и v: L*—>A — цепные преобразования.
Правила скольжения (6.3) и (6.4) можно записать как одно правило
(g'n0, т, a) = {g', т', ща}; пйт = т'пи g'm' — 0 — та. (6.8)
Если т и тг определяют цепные комплексы L и L', то из равенства п0т = m'tii вытекает коммутативность диаграммы
„ ГЛ „
L: Z Z
р| jno |«1
L": Z<r-Z.
§ 7. Периодические произведения модулей
201
значит, р : L -+¦ L' — цепное преобразование. Теперь элементы g и а определяют гомоморфизмы р/ : L'0 — Z G и v : L* -> А посредством равенств (г'1 = g\ vl = а и ц'р1 = g'n0, vp*l — п&. В этих обозначениях правило скольжения (6.8) принимает вид
(ц/р. L, v) = (p/, L', vp*), р: L—>L'.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что (g, mi + m2, а) = <g, mit a) + <g, m2, а), если обе части равенства имеют смысл.
2. Пусть QdZ — аддитивная группа рациональных чисел, и пусть Т (А) («периодическая подгруппа»), т. е. подгруппа группы А, состоящая из всех элементов конечного порядка из А. Установить естественный изоморфизм Тог (Q/Z, А) = Т (А).
3. Пусть Qp — подгруппа группы Q, состоящая из всех рациональных чисел, знаменатель которых есть степень числа р. Описать группу Тог (Qp/Z,A).
4. Исследовать группу Tor (G, А) в том случае, когда группы G и А являются бесконечными прямыми суммами.
5. Доказать, что А ® В s Тог (А, В), если А и В — конечные абелевы группы. (Изоморфизм не является естественным.)
6. Показать, что группа Tor (G, А) = 0, если для любого элемента а конечного порядка k из группы А и для любого элемента g конечного порядка I из группы G числа к и I всегда взаимно просты.
7. Для модулей Gr, rA обозначим через Т (G, А) абелеву группу, опре-
деленную образующими (g, г, а), где gr = 0 = га, и соотношениями (6.1) — (6.4). Показать, что последовательность (6.6), в которую вместо Тог надо поставить Т, может не быть точной в члене А.
§ 7. Периодические произведения модулей
Рассмотрим цепной комплекс L длины п при фиксированном л ^ 0,
j. j JL j ® . . i_ L
Lг. L,q < < < i-'n—1 ^ •i-'Ti?
в котором каждый модуль L* является конечно порожденным проективным правым /^-модулем. Сопряженный комплекс L* =Ношл (L, R) также можно рассматривать как цепной комплексL*, в котором/.* — это модуль цепей размерности п — k,
L*: L* Д Ы-1 I------------
Каждый модуль L% является конечно порожденным проективным левым модулем, а гомоморфизмы 8ft : L* —1 определяются как 8Й = (—l)ft+15|+i, где dh+l : Lk+1 -*¦ Lh. Здесь и ниже мы можем с одинаковым успехом требовать, чтобы модули Lh были конечно
202______________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
порождены и свободны; тогда то же самое будет верно и для модулей
Если G — правый ^-модуль, рассматриваемый как тривиальный цепной комплекс, то цепное преобразование ц : L G будет модульным гомоморфизмом Цо : Lo G, для которого [10д = 0 : Lt ->¦ G, а цепное преобразование v : L* -*¦ RC будет модульным гомоморфизмом v : L* -v С, для которого v8 = 0. Для данных модулей GR и RC , мы возьмем в качестве элементов группы Тог” (G, С) все тройки f = (H, L, v), |х: L—>G, v: L*—>C,
