Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
1 ® х : G <S>r А ->¦ G <g)B В может не быть мономорфизмом. Чтобы показать это, положим R = Z, А = 2Z (группа четных чисел), В — Z, х — вложение, G = Z2 (g) — циклическая группа порядка
2 с образующим g. Тогда, как подсчитано в (1.9), тензорное произведение Z2 (g) (§) (2Z) является циклической группой порядка
2 с образующим g ® 2, в то время как
(1 ® и) (g <8> 2) = g <g> 2 = 2g ® 1 = 0;®:1 = О,
так что элементу ® 2 лежит в ядре 1 ® х.
Этот пример можно переформулировать следующим образом. Для подмодуля Лей нельзя предполагать, что С® Л с G'jg) В, потому что элемент g ® а из G ® А может быть ртличен от нуля, в то время как «тот же» элемент g ® а становится нулем в G <$) В. По этой причине мы с самого начала настаивали на том, чтобы включение Л с В представлялось отображением х: А -*¦ В.
В приведенном примере число 2 можно заменить любым целым числом т. Поэтому мы можем описать некоторые элементы в Кег (1 ® и) для R — Z и коррткой точной последовательности (х,а) : А >* В С абелевых групп. Эти элементы g ® а появляются всякий раз, как существует такой элемент b и такое целое число т, что ха — mb и mg = 0 одновременно, поскольку тогда
(1 ® х) (g ® а) = g ® ха = g ® mb = mg <g) b = 0 ® b — 0.
13*
196_____________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
В этом случае элемент ка, а значит, и сам элемент а определяются элементом Ь, в то время как элемент g ® а зависит только от ob 6 С. Действительно, из равенства ab = ob" в силу точности вытекает равенство b' — Ь + ха0 для некоторого а0\ тогда к (а + гпа0) = = mb" и g <8> (а + ma0) = g <g) а + g <g) та0 = g <g) а. Элемент ядра g ® а зависит от g, m 6 2 и ob = с; далее, ввиду точности тс = m (ob) = о (mb) = ока — 0. Введем обозначение
k(g, т, c)=g® а б Кег (1 <g) х), mg = 0 = mc; (5.2)
здесь а—некоторый элемент из А, для которого ка=тЬ, ob = с для некоторого Ь, т. е. элемент а получается при помощи «обращения», а = v.-1ma~1c. В следующем параграфе мы покажем, что элементы k (g, т, с) из (5.2) порождают Кег (1 <g) к).
Эти элементы k (g, т, с) удовлетворяют некоторым тождествам. Они аддитивны по g и с; например, аддитивность по с означает, что
k(g, т, Ci + c2) = k(g, т, ci) + k(g, т, сг) (5.3)
всякий раз, как тс4 = 0 = тс2. Для любых двух целых чисел т и п можно подсчитать, что
- k(g, тп, c) = k(g, т, пс) (5.4)
всякий раз, как mg — 0, тпс = 0, и что
k(g, тп, c) = k(gm, п, с) (5.5)
всякий раз, как gmn = 0, пс = 0. Мы пишем здесь gm вместо mg, потому что мы можем рассматривать абелеву группу G как правый модуль над Z. Эти соотношения будут сейчас использованы для определения одной новой группы.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для мономорфизма А >-» В показать, что каждый элемент из
Кег (А ® 1т В ® Zm) имеет внд k (с, т, 1), где 1 — образующий груп-
пы Zm.
2. Если J — двусторонний идеал в кольце R, то показать, что отобра-
жение а ® (г + J) -+¦ аг для а 6 J порождает эпиморфизм J (R/J) -» -» J/J2 для У?-модулей. Доказать, что если J2 Ф J, то вложение J -*¦ R индуцирует отображение J (R/J) -+¦ R (R/J), которое не является
мономорфизмом.
3. Для точных последовательностей (у, т) : G >-» Н -» К, и (Р, ст) : D >-» >-» В -» С показать, что ядро отображения т ® а : Н В -*> К ®r С равно у* (G ® В) U Р* (Н ® Ь).
§ 6. Периодические произведения групп
197
§ 6. Периодические произведения групп
Для абелевых групп А и G мы определим периодическое произведение Тог (G, А) как такую абелеву группу, которая порождается всеми символами (g, т, а), причем т 6 Z, gm = 0 в G, та — = 0 в А, подчиненными следующим условиям («аддитивность» и правила «скольжения» множителей т, п):
(gi + ёг, «г, a) = {gu т, а) + {цй, т, а), ?гт=0 = та, (6.1)
(g, т, ai + az) = (g, т, aj + ig, т, а2), gm = 0 = mal, (6.2) (g, тп, a) — (gm, п, a), gmn = 0 = па, (6.3)
(g, тп, a) = (g, т, па), gm = 0 — тпа. (6.4)
Каждое условие накладывается в том случае, когда обе части имеют смысл; в каждом случае это эквивалентно требованию, чтобы имели смысл символы правой части. Из соотношений аддитивности (6.1) и (6.2) следует, что (0, т, а) = 0 = (g, т, 0). Следовательно, Тог (G, А) = 0, если в группе А нет элементов конечного порядка (кроме нуля) и также Тог (A, G) а* Тог (G, А).
Если а :А-*-А\ то Тог (G, А) в силу определения (g, т> а) = (g, т, а а) превращается в ковариантный функтор аргумента А. Таким же образом Тог (G, А) превращают в ковариантный функтор аргумента G. Из (6.2) выводим, что (а + ($)* = а* + + Р*> и, следовательно, имеет место изоморфизм Tor (G, Л10 Л 2) ^ a? Tor (G, Ai) ф Tor (G, Az). Значит, для вычисления группы Тог (G, А) для конечно порожденных групп достаточно вычислить ее для конечной циклической группы G.
Для циклической группы G = Zq (g0) порядка q с образующим go существует изоморфизм
I: qA & Тог (Zq (go), А), (6.5)
