Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
24
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Этими изоморфизмами устанавливается изоморфизм точных последовательностей в форме коммутативности диаграммы
0-* А Л вЛ С^О
. || l^-1 (2.1)
О —> усА Л В —> ВЫА —> 0.
Другими словами, короткая точная последовательность — это другое название для пары, состоящей из подмодуля и фактормодуля
по этому подмодулю.
С каждым гомоморфизмом а : А -*¦ В связываются два фактор-модуля
Coim а = Л/Кег a, Coker а = В/Im а,
которые называются кообразом и коядром а. Эти определения позволяют построить две короткие точные последовательности
Кег а >-> А -» Coim а, Imct >-» В-» Сокега, (2.2)
изоморфизм Coim а ^ Im а и длинную точную последовательность
0 —> Кег а Л А Л В Л Coker а —> 0. (2.3)
Из равенства |3а = 0 в силу предложения 2.1 следует, что р одно-
значно проходит через т), т. е. {S = р'г). Двойственно, если, для некоторого у : А" -у А, ау = 0, то у однозначно проходит через /, т. е. V = jv’ Для единственного у' : А" -+¦ Кег а. Эго свойство характеризует вложение j : Кег а-*- А однозначно с точностью до изоморфизмов модуля Кег а. Отметим двойственные утверждения: а является мономорфизмом тогда и только тогда, когда Кег а = 0, и а является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда Coker а = 0. Эта двойственность будет рассмотрена в § 8.
Если а : Л -> В и S с Л, то множество aS всех элементов вида as с s в S есть подмодуль модуля В, называемый образом S при а.
Аналогично, если Т с В, то множество а-1Т, состоящее из всех элементов s ? А, таких, что as 6 Т, есть подмодуль модуля А, который называется (полным) прообразом подмодуля Т. В частности, Кег а = огЧ), где 0 означает подмодуль модуля В, содержащий только нулевой элемент.
Если K cz S — подмодули модуля А, то модуль S/К называется подфактором модуля А; он является фактормодулем подмодуля S и одновременно подмодулем фактормодуля А/К- Дальше, если К. cz К' с= S" cz S с А, то К’/К — подмодуль модуля S' IК и произведение проекций S''S'/К (S’ /К) /(К’ /К) имеет ядро, равное К\ откуда вытекает известный изоморфизм (S’/К)/(К"/К) ~
§ 3. Диаграммы
25
^ S'/KОн позволяет записывать всякий подфактор (57/С)/(/С' /К) подфактора S/К как подфактор самого модуля Л.
Пусть S/К и S'/K’ — подфакторы модулей Л и Л' соответственно. Если aS cz S' для а: А -*¦ А' и аК cz К\ то смежный класс as + /С' подфактора S'/К’ однозначно определен смежным классом s + К подфактора SIK- Следовательно, отображение a* (s + К)= = as 4- К' задает гомоморфизм
a^:S/K-^S’IK' (a S с S', atfcK')- (2.4)
Говорят, что этот гомоморфизм индуцирован гомоморфизмом а на данных подфакторах.
Если S н Т — подмодули модуля Л, то их пересечение 5 П Г
(как множеств) будет подмодулем, так же как и их объединение
S U Т, состоящее из всех сумм s + t, где s ? S, t ? Т. В теореме Нётер об изоморфизмах утверждается, что \А индуцирует изоморфизм
.1*: S/{S{]T)^(S[}T)/T. (2.5)
§ 3. Диаграммы
Говорят, что диаграмма ^-модулей и гомоморфизмов
о ->л Д в Д с
1а . 1р ¦ |v
t в'Д С'
о
коммутативна, если x'a = А -*• В" (левый квадрат коммутативен!) и ст'Р = уа: В С" (правый квадрат коммутативен!). Вообще диаграмма гомоморфизмов коммутативна, если любые два пути, указанные стрелками, из одного модуля в другой модуль дают один и тот же гомоморфизм.
Лемма 3.1. (Малая лемма о пяти гомоморфизмах.) Пусть в коммутативной диаграмме R-модулей (3.1) обе строки точны. Тогда:
(i) если а и у — изоморфизмы, то и $ — изоморфизм-,
(и) если а и у — мономорфизмы, то и $ — мономорфизм;
(iii) если а и у — эпиморфизмы, то и р — эпиморфизм.
Эти же утверждения справедливы для диаграмм групп, не обязательно абелевых.
Доказательство. Ясно, что (i) вытекает из (И) и (iii). Для доказательства (и) возьмем элемент b ? Кег р. Правый квадрат коммутативен, поэтому yob = о'$Ь — 0. Поскольку у — мономорфизм, верно, что оЬ = 0. Ввиду точности верхней строки сущест-
26
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
вует такой элемент а, что ха — Ь. Теперь х'аа = рха = Рb — О, поскольку левый квадрат коммутативен. Нижняя строка точна в А', и поэтому аа = 0. Но а — мономорфизм, и поэтому а = 0, откуда b — ка = 0. Тем самым доказано, что р — мономорфизм.
Для доказательства (iii) рассмотрим элемент Ь’ из В*. Поскольку у — эпиморфизм, существует такой элемент с ? С, что ус = а'Ь'\ поскольку верхняя строка точна, существует такой элемент b 6 В, что ab = с. Тогда а' фЬ — Ь') = 0 в С'. Ввиду точности нижней строки РЬ — Ь" = х'а' для некоторого элемента а' 6 А\ Поскольку а — эпиморфизм, а а — а' для некоторого элемента а 6 А, следовательно, рха = х'аа = рb — Ь'. Отсюда Ь‘ — р (Ь — ха), что и требовалось доказать.
Подобный тип доказательств называется «диаграммным поиском». Можно заметить, что этот «поиск» оказывается успешным и в том случае, когда рассматриваемые группы неабелевы.
